Statistika : Ukuran Pemusatan Data

Posted on

         Pondok Soal.comUkuran Pemusatan Data merupakan salah satu pengukuran data dalam statistika. Ukuran Pemusatan data teridiri dari penghitungan rata-rata (Mean), nilai tengah (Median), dan nilai yang kerap muncul(Modus). Untuk memudahkan dalam memahami bahan ukuran pemusatan data ini, sebaiknya kita membaca dahulu bahan “Statistika Secara Umum” dan bahan “Statistika : Penyajian Data“. Berikut penterangan masing-masing.

Rata-rata (Mean)
       Rata-rata atau rataan hitung kerapkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang $ \overline{x} $ . Rataan hitung kita bagi menjadi dua menurut data tunggal dan data berkelompok.
Rumus umum rata – rata ($ \overline{x} $):
              $ \begin{align} \overline{x} = \frac{\text{Jumlah semua data yang diamati}}{\text{kaya data yang diamati}} \end{align} $

$ \clubsuit $ Rata – rata Data Tunggal
         Rata-rata data tunggal kita bagi menjadi tiga kelompok yaitu rata-rata tunggal, rata-rata ada frekuensi, dan rata-rata pengelompokan.
i). Misalkan ada data $ x_1, x_2, x_3, x_4, … , x_n $, sekaya $ n $ data
Rata-ratanya : $ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n}{n} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $

Contoh
Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6.
Tentukan rataan dari data tersebut.
Penyelesaian :
$ \overline{x} = \frac{3+7+6+5+3+6+9+8+7+6}{10} = \frac{60}{10} = 6,0 $
Jadi, rataannya merupakan 6,0.

ii). Misalkan ada data $ x_1 \, $ dengan frekuensi $ f_1 \, $ , $ x_2 \, $ dengan frekuensi $ f_2 \, $ , $ x_3 \, $ dengan frekuensi $ f_3 \, $ dan seterusnya hingga $ x_n \, $ dengan frekuensi $ f_n \, $ ,
Rata-ratanya merupakan

Contoh
Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa menerima nilai 8, tujuh siswa menerima nilai 7, lima belas siswa menerima nilai 6, tujuh siswa menerima nilai 5, dan lima siswa menerima nilai 4. Tentukan rata-rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.
Penyelesaian :
Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.

Rata-rataanya :
$ \overline{x} = \frac{4\times 5 + 5 \times 7 + 6 \times 15 + 7 \times 7 + 8 \times 6 }{5 + 7 + 15 + 7 + 6} = \frac{242}{40} = 6,05 $
Atau pribadi memakai nilai pada tabel :
$ \overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i} = \frac{242}{40} = 6,05 $
Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA merupakan 6,05.

iii). Misalkan ada data pertama yang terdiri $ n_1 \, $ datum dengan rata-rata $ \overline{x}_1 \, $ , data kedua yang terdiri $ n_2 \, $ datum dengan rata-rata $ \overline{x}_2 \, $ , dan seterusnya. Rata-rata adonan ($\overline{x}_{gb}$) semua kelompok merupakan :
                  $ \begin{align} \overline{x}_{gb} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3 + ….}{n_1 + n_2 + n_3 + ….} \end{align} $

Contoh :
Dikelas A terdiri dari 20 siswa pria dan 30 siswa perempuan. Setelah dilakukan penimbangan berat badan, diperoleh berat rata-rata siswa pria merupakan 40 kg dan berat rata-rata siswa wanita 41 kg. Tentukan berat rata-rata kelas A tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui :
kaya siswa pria : $ n_l = 20 \, $ dan rata-rata : $ \overline{x}_l = 40 $
kaya siswa wanita : $ n_p = 30 \, $ dan rata-rata : $ \overline{x}_p = 41 $
*). Rata-rata adonan siswa pria dan wanita :
$ \begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_l.\overline{x}_l + n_p.\overline{x}_p}{n_l + n_p} \\ & = \frac{20.40 + 30.41}{20 + 30 } \\ & = \frac{800 + 1230}{50 } \\ & = \frac{2030}{50 } \\ & = 40,6 \end{align} $
Jadi, rata-rata berat tubuh kelas A merupakan 40,6 kg.

$ \clubsuit $ Rata – rata Data Berkelompok
         Untuk menentukan rata-rata data berkelompok, ada tiga cara yang akan kita gunakan.
i). Metode nilai tengah
Rata-rata : $ \begin{align} \overline{x} = \frac{f_1.x_1+f_2.x_2 + … + f_n.x_n}{f_1 + f_2 + … + f_n} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \end{align} $
dengan $ x_i \, $ merupakan nilai tengah masing-masing interval kelas.

Baca Juga:   Statistika : Ukuran Letak Data

Contoh :
Perhatikan tabel berikut!

Tentukan mean (rata-rata) dari tabel tersebut!
Penyelesaian :
Maka, nilai mean (rata-rata hitung) dari data tersebut merupakan:
$ \begin{align} \overline{x} & = \frac{f_1.x_1+f_2.x_2 + f_3.x_3 + f_4.x_4 + f_5.x_5}{f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5} \\ & = \frac{61.10 + 64.25 + 67.32 + 70 . 15 + 73.18 }{10 + 25 + 32 + 15 + 18 } \\ & = \frac{6718 }{100 } \\ & = 67,18 \end{align} $
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18.

ii). Metode Simpangan dari rata-rata sementara
Rata-rata : $ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.d_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \end{align} $
Keterangan :
$ \overline{x}_s = \, $ rata-rata sementara dari nilai tengah.
$ d_i = x_i – \overline{x}_s : \, $ Simpangan nilai tengah terhadap rata-rata sementara.

Contoh :
Dari tabel soal nomor satu di atas, kita menentukan nilai rata-ratanya dengan cara metode simpangan.

Kita pilih rata-rata sementaranya ($\overline{x}_s$) dari nilai tengah yang ada. Kita bebas menentukan nilai tengah yang ada, namun biasanya rata-rata sementara dipilih dari nilai tengah yang terdapat frekuensi yang terbesar. Pada soal ini kita pilih nilai tengah pada kelas ke-3, sesampai kemudian $ \overline{x}_s = 67 $ .
Menetukan nilai simpangannya ($d_i$) :
Kelas ke-1 : $ d_1 = x_1 – \overline{x}_s = 61 – 67 = – 6 $
Kelas ke-2 : $ d_2 = x_2 – \overline{x}_s = 64 – 67 = – 3 $
Kelas ke-3 : $ d_3 = x_3 – \overline{x}_s = 67 – 67 = 0 $
Kelas ke-4 : $ d_4 = x_4 – \overline{x}_s = 70 – 67 = 3 $
Kelas ke-5 : $ d_5 = x_5 – \overline{x}_s = 73 – 67 = 6 $
untuk lebih kompleksnya lihat pada tabel di atas.
Sesampai kemudian rata-ratanya :
$ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.d_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} = 67 + \frac{18}{100} = 67,18 \end{align} $
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18 (hasilnya sama dengan cara I di atas).

iii). Metode Pengkodean (coding)
         Metode pengkodean (coding) kerap dipakai apabila dijumpai nilai-nilai dalam data yang berupa bilangan-bilangan besar . Metode ini sangat memudahkan dalam perhitungan alasannya ialah melibatkan bilangan yang lebih simpel. Pengkodean yang dimaksud merupakan disimbolkan $u$ dengan rumus $ u_i = \frac{x_i – \overline{x}_s}{p} $ , dimana $ p $ merupakan panjang kelas (interval kelas), $ x_i $ merupakan nilai tengah, dan $ \overline{x}_s $ merupakan rata – rata sementara yang dipilih dari nilai tengah.
Rumus rata – rata : $ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \left( \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.u_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \right) . p \end{align} $
Keterangan :
$ \overline{x}_s = \, $ rata-rata sementara dari nilai tengah.
$ u_i = \frac{x_i – \overline{x}_s}{p} : \, $ pengkodeannya.
$ p = \, $ panjang kelas atau interval kelas.

Contoh :
Kita akan menghitung nilai rata-rata pada soal nomor satu dengan metode pengkodean.

Misal rata-rata sementaranya : $ \overline{x}_s = 67 $
Panjang kelas : $ 60 – 62 \rightarrow p = 3 $
Menentukan nilai pengkodeannya ($u_i$) :
Kelas ke-1 : $ u_1 = \frac{x_1 – \overline{x}_s}{p} = \frac{61 – 67}{3} = -2 $
Kelas ke-2 : $ u_2 = \frac{x_2 – \overline{x}_s}{p} = \frac{64 – 67}{3} = -1 $
Kelas ke-3 : $ u_3 = \frac{x_3 – \overline{x}_s}{p} = \frac{67 – 67}{3} = 0 $
Kelas ke-4 : $ u_4 = \frac{x_4 – \overline{x}_s}{p} = \frac{70 – 67}{3} = 1 $
Kelas ke-5 : $ u_5 = \frac{x_5 – \overline{x}_s}{p} = \frac{73 – 67}{3} = 2 $
Sesampai kemudian rata-ratanya :
$ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \left( \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.u_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \right) . p = 67 + \left( \frac{6}{100} \right) . 3 \end{align} = 67 + 0,18 = 67,18$
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18 (hasilnya sama dengan cara I di atas).

Baca Juga:   Statistika Secara Umum

Catatan : Kabar baiknya memakai metode pengkodeann merupakan nilai tengah yang menjadi rata-rata sementaranya akan bernilai nol untuk pengkodeannya, dan bab sebelumnya selalu dikurangi satu dan setelahnya ditambah satu. sesampai kemudian bentuknya akan selalu …-3,-2,-1,0,1,2,3,…. yang menyesuaikan dengan kayanya kelas dengan patokan 0 merupakan kelas yang dipilih sebagai rata-rata sementaranya.

Median (Nilai Tengah)
       Median merupakan nilai tengah kumpulan data yang telah diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

$ \spadesuit $ Median Data Tunggal
       Apabila kumpulan $n $ data disaapabilan dalam bentuk tunggal yaitu $x_1, x_2, …, x_n \, $ maka median dari data tersebut sanggup ditentukan sebagai berikut.
1). Untuk ukuran data $ n $ ganjil, maka mediannya merupakan nilai data yang ditengah atau nilai data ke$-\frac{n+1}{2} $
                            $ \begin{align} Me = x_{\frac{n+1}{2}} \end{align} $
Keterangan :
Me = Median dan $ \begin{align} x_{\frac{n+1}{2}} \end{align} \, $ merupakan data ke$-\frac{n+1}{2} $

2). Untuk ukuran data $n $ genap, mediannya merupakan rata-rata dari dua nilai data yang ditengah atau rata-rata dari nilai data ke$-\frac{n}{2} \, $ dan nilai data ke$ – \left( \frac{n}{2} + 1 \right) $
                            $ \begin{align} Me = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{n}{2}} + x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \right) \end{align} $
Keterangan :
$ \begin{align} x_{\frac{n}{2}} \end{align} \, $ merupakan data ke$-\frac{n}{2} \, $ dan $ \begin{align} x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \end{align} \, $ merupakan data ke$-\left( \frac{n}{2} + 1 \right) $

Contoh :
Tentukan besarnya median dari data berikut :
a). Data : 3, 2, 5, 1, 7, 8, 3, 2, 4, 1, 5
b). Data : 4, 2, 3, 5, 7, 5, 2, 1
Penyelesaian :
a). ukuran data ada 11, artinya kaya datum ganjil dengan $ n = 11 $ .
*). Data diurutkan : 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 8 .
$ \begin{align} Me = x_{\frac{n+1}{2}} = x_{\frac{11+1}{2}} = x_6 = 3 \end{align} $
artinya median terletak pada data ke-6 yaitu 3.
Jadi, mediannya merupakan 3.
b). ukuran data ada 8, artinya kaya datum genap dengan $ n = 8 $ .
*). Data diurutkan : 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 7 .
$ \begin{align} Me = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{n}{2}} + x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \right) = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{8}{2}} + x_{ \left( \frac{8}{2} + 1 \right) } \right) = \frac{1}{2} \left( x_4 + x_5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3 + 4 \right) = 3,5 \end{align} $
artinya median terletak antara data ke-4 dan ke-5 yaitu antara 3 dan 4.
Jadi, mediannya merupakan 3,5.

$\spadesuit $ Median Data Berkelompok
Rumus Median data berkelompok :
                            $ \begin{align} Me = Tb_{me} + \left( \frac{\frac{1}{2}n – F_{ks}}{f_{me}} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{me} = \, $ tepi bawah kelas median.
$ n = \, $ ukuran data (kaya datum).
$ F_{ks} = \, $ frekuensi kumulatif sebelum frekuensi kelas median.
$ f_{me} = \, $ frekuensi kelas mediannya.
$ p = \, $ panjang kelas.

Langkah-langkah menentukan Median :
1). Tentukan letak median dengan rumus $ \frac{1}{2}n $
2). Tentukan tepi bawah kelas median, Frekuensi kumulatif dan frekuensi median, serta panjang kelas .
3). Gunakan rumus median data berkelompok.

Contoh :
Sseorang karyawan sebuah toko bangunan lagi mengukur diameter dari 40 buah pipa. Hasil pengukurannya itu dituliskan dalam tabel.

Tentukan nilai median dari data pada tabel di atas!
Penyelesaian :
*). Menetukan letak median dengan ukuran $ n = 40 $
Letak median $ = \frac{1}{2}n = \frac{1}{2}. 40 = 20 $
Artinya median terletak pada data ke-20 yaitu pada kelas ke-3 dengan interval 71 – 73.
*). Menentukan komponen yang lainnya :
Tepi bawah : $ Tb_{me} = 71 – 0,5 = 70,5 $
Frekuensi kumulatif : $ F_{ks} = 2 + 5 = 7 $
frekuensi kelas median : $ f_{me} = 13 $
panjang kelas : $ p = \, $ bata atas $ – \, $ batas bawah $ + 1 = 73 – 71 + 1 = 3 $
*). Menentukan nilai mediannya :
$ \begin{align} Me & = Tb_{me} + \left( \frac{\frac{1}{2}n – F_{ks}}{f_{me}} \right)p \\ & = 70,5 + \left( \frac{\frac{1}{2}.40 – 7}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + \left( \frac{20 – 7}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + \left( \frac{13}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + 3 \\ & = 73,5 \end{align} $
Jadi, median yang menyatakan nilai tengah dari diameter 40 pipa merupakan 73,5 mm.

Modus (Nilai yang kerap muncul)
       Modus merupakan nilai yang paling kerap muncul atau terdapat frekuensi tertinggi.

$\clubsuit $ Modus Data Tunggal
       Misalkan ada $ n \, $ data $ x_1, x_2, x_3, … x_n \, $ , modus dari data tersebut merupakan datum(nilai) dengan frekuensi tertinggi atau data yang paling kerap muncul. Suatu data dikatakan tak memiliki modus apabila dalam data tersebut tak ada nilai yang mayoritas (kerap muncul). Ternyata data juga sanggup terdapat modus lebih dari satu.

Baca Juga:   Menentukan Frekuensi Interval Kelas Data Berkelompok

Contoh :
1). Dari data : 1, 5, 7, 8, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Karena data tersebut tak ada nilai yang mayoritas (masing-masing frekuensinya satu), maka data tersebut tak terdapat modus.

2). Dari data : 1, 3, 5, 6, 7, 6, 6, 8, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Dari data terlihat bahwa nilai 6 paling kerap muncul (muncul 3 kali), sesampai kemudian modusnya merupakan 6.

3). Dari data : 2, 3, 1, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Dari data, nilai yang kerap muncul merupakan angka 5 dan 7 (maasing-masing frekuensinya tertinggi yaitu 2 ), sesampai kemudian modus data tersebut merupakan 5 dan 7.

$\clubsuit $ Modus Data Berkelompok
Rumus modus data berkelompok :
                            $ \begin{align} Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) p \end{align} $
Keterangan :
$ Mo = \, $ nilai modus.
$ Tb_{mo} = \, $ tepi bawah kelas modus.
$ d_1 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
$ d_2 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)

Untuk menentukan nilai modus, sebaiknya kita harus menentukan kelas modusnya terlebih dahulu. Kelas modus merupakan kelas yang terdapat nilai frekuensi tertinggi.

Contoh.
Berikut merupakan Data umur penduduk

Dari tabel di atas, tentukan nilai modusnya.!
Penyelesaian :
*). Dari tabel, terlihat bahwa kelas yang terdapat frekuensi tertinggi merupakan kelas ke-3 dengan frekuensi 140, ini artinya kelas modusnya merupakan kelas ke-3 dengan interval 35 – 43.
*). Menentukan komponen lainnya:
Tepi bawah kelas modus : $ Tb_{mo} = 35 – 0,5 = 34,5 $
$ d_1 = 140 – 90 = 50 \, $ dan $ d_2 = 140 – 95 = 45 $
Panjang kelas : $ p = \, $ bata atas $ – \, $ batas bawah $ + 1 = 43 – 35 + 1 = 9 $
*). Menentukan nilai modusnya :
$ \begin{align} Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) p \\ & = 34,5 + \left( \frac{50}{50 + 45} \right) . 9 \\ & = 34,5 + \left( \frac{50}{95} \right) . 9 \\ & = 34,5 + \frac{450}{95} \\ & = 34,5 + 4,74 \\ & = 39,24 \end{align} $
Jadi, modus yang menyatakan umur penduduk dalam pemilihan merupakan 39,24.