Statistika : Ukuran Penyebaran Data

Posted on

         Pondok Soal.com – Dengan memilih pemusatan data dan ukuran letak data ternyata belum cukup untuk memperlihatkan citra yang jelas dari suatu data. Pada pengukuran statistika, selain ukuran pemusatan dan ukuran letak, juga ada Ukuran Penyebaran Data. Ukuran penyebaran data merupakan ukuran yang memperlihatkan seberapa jauh data suatu menyebar dari rata-ratanya. Pada ukuran penyebaran data, kita akan mempelajari bahan Jangkauan (Range), Simpangan, Ragam (Variansi), ukuran penyebaran pada nilai kuartil, dan Pencilan (Outlier) . Sebelum membaca perihal ukuran penyebaran data, sebaiknya kita baca dahulu bahan “Statistika Secara Umum” dan “Statistika : Penyajian Data“.

Jangkauan (Range)
       Jangkauan kerap disebut range atau rentang. Jangkauan dari suatu data didefinisikan sebagai selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Disini kita simbolkan jangkauan dengan abjad R.
Rumus umum jangkauan (range) :

Keterangan :
$ R = \, $ Jangkauan atau range
$ X_{min} = \, $ nilai atau data terkecil
$ X_{maks} = \, $ nilai atau data terbesar

$\clubsuit $ Jangkauan data tunggal
       Untuk jangkauan data tunggal, eksklusif tentukan nilai terbesar dan terkecilnya, kemudian dikurangkan.

Contoh
Tentukan jangkauan(range) dari data-data di bawah ini.
6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20
Penyelesaian :
Dari data di atas diperoleh $x_{maks} = 20 \, $ dan $x_{min} = 3 $
*). Menentukan jangkauannya :
$\begin{align} R = x_{maks} – x_{min} = 20 – 3 = 17 \end{align} $
Jadi, jangkauan data tersebut merupakan 17.

$\clubsuit $ Jangkauan data Berkelompok
       Untuk data bergolong, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

Contoh
Tentukan range dari tabel berikut ini.

Penyelesaian :
*). Nilai tengah kelas terendah :
       $ x_{min} = \frac{3+5}{2} = 4 $
*). Nilai tengah kelas tertinggi :
       $ x_{maks} = \frac{18+20}{2} = 19 $
*). Menentukan jangkauannya :
$\begin{align} R = x_{maks} – x_{min} = 19 – 4 = 15 \end{align} $
Jadi, jangkauan data tersebut merupakan 15.

Simpangan Rata-rata
       Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata merupakan ukuran yang menyatakan seberapa besar penyebaran tiap nilai data terhadap nilai meannya (rata-ratanya).

$\spadesuit $ Simpangan rata-rata data tunggal
Rumus menghitung simpangan rata-rata data tunggal :

Keterangan :
$ SR = \, $ Simpangan rata-rata
$ n = \, $ ukuran data (total frekuensi)
$ x_i = \, $ data ke-$i$ dari data $ x_1, x_2, x_3, …, x_n $
$ \overline{x} = \, $ rataan hitung.
$ \sum = \, $ notasi sigma yang artinya jumlahan.
$ |x_i – \overline{x}| = \, $ harga mutlak dari $ x_i – \overline{x} \, $ yang jadinya selalu positif.
pola : $ |3| = 3 \, $ dan $ |-3| = 3 $

Baca Juga:   Statistika : Ukuran Letak Data

Contoh :
Diketahui data: 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5. Tentukan simpangan rata-ratanya.
Penyelesaian :
*). Menentukan rata-ratanya,
$ \begin{align} \overline{x} = \frac{7+6+8+7+6+10+5}{7} = \frac{49}{7} = 7 \end{align} $
*). Menentukan simpangan rata-ratanya :
$ \begin{align} SR & = \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} |x_i – \overline{x}| \\ & = \frac{1}{7} \displaystyle \sum_{i = 1}^{7} |x_i – 7| \\ & = \frac{1}{7} (|7-7|+|6-7|+|8-7|+|7-7|+|6-7|+|10-7|+|5-7|) \\ & = \frac{1}{7} (|0|+|-1|+|1|+|0|+|-1|+|3|+|-2|) \\ & = \frac{1}{7} (0+1+1+0+1+3+2) \\ & = \frac{1}{7} (8) = \frac{8}{7} \end{align} $
Jadi, simpangan rata-ratanya merupakan $ \frac{8}{7} $

$\spadesuit $ Simpangan rata-rata data berkelompok
Rumus menghitung simpangan rata-rata data berkelompok :

Keterangan :
$ SR = \, $ Simpangan rata-rata
$ n = \, $ kaya kelas
$ x_i = \, $ nilai tengah kelas ke-$i$
$ \overline{x} = \, $ rataan hitung.
$ f_i = \, $ frekuensi kelas ke-$i$
$ \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i = \, $ total frekuensi

Contoh :
Tentukan simpangan rata-rata pada tabel berikut ini.

Penyelesaian :
*). Mekomplekskan isi tabel

*). Menentukan rata-rata :
$ \begin{align} \overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i} = \frac{6300}{40} = 157,5 \end{align} $
*). Menentukan simpangan rata-ratanya :
$ \begin{align} SR = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i.|x_i – \overline{x}|}{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i} = \frac{260}{40} = 5,15. \end{align} $
Jadi, simpangan rata-ratanya merupakan 5,15.

Simpangan Baku (Standar Deviasi) Data tunggal
       Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tak dikelompokkan dan dinyatakan oleh $x_1, x_2, …, x_n$. Dari data tersebut, sanggup diperoleh nilai simpangan baku ($S$) yang ditentukan oleh rumus berikut.

Data sampel berlaku untuk $ n < 30 \, $ dan data populasi untuk $ n \geq 30 $

Contoh:
Dari 40 siswa kelas XI IPA diperoleh nilai yang mewakili merupakan 7, 9, 6, 3, dan 5. Tentukan simpangan baku dari data tersebut.
Penyelesaian :
*). Menentukan rata-rata :
$ \overline{x} = \frac{7+9+6+3+5}{5} = \frac{30}{5} = 6 $
*). Mekomplekskan tabel

*). Menentukan simpangan baku
$ \begin{align} s = \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} (x_i – \overline{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{20}{5-1}} = \sqrt{5} = 2,24 \end{align} $
Jadi, simpangan bakunya merupakan 2,24.

Simpangan Baku (Standar Deviasi) Data Berkelompok
       Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan, sanggup dinyatakan oleh $x_1, x_2, …, x_n$ dan masing-masing data memiliki frekuensi $f_1 , f_2 , …, f_n$ . Simpangan baku ($S$) dari data tersebut diperoleh dengan memakai rumus

Data sampel berlaku untuk $ n < 30 \, $ dan data populasi untuk $ n \geq 30 $

Contoh :
Hasil tes Matematika 30 siswa kelas XI IPA menyerupai ditunjukkan pada tabel di bawah.

Berdasarkan data tersebut, tentukan simpangan bakunya.
Penyelesaian :
*).Mekomplekskan isi tabel

*). Menentukan rata-ratanya :
$ \begin{align} \overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i} = \frac{490}{30} = 16,33 \end{align} $
*). Menentukan simpangan bakunya
$ \begin{align} s = \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i.(x_i – \overline{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{836,7}{30}} = \sqrt{27,89} = 5,28 \end{align} $
Jadi, simpangan bakunya merupakan 5,28.

Ragam (Variansi)
       Variansi (ragam) merupakan rata-rata dari jumlah kuadrat simpangan tiap data. Ragam sanggup dirumuskan sebagai :
                     Ragam $ = S^2 \, $
Artinya ragam diperoleh dari nilai simpangan baku dikuadratkan.

Contoh :
Dari pola soal yang berkaitan dengan simpangan baku data berkelompok di atas, diperoleh simpangan bakunya merupakan 5,28. Sesampai kemudian nilai ragamanya (variansi) merupakan :
Ragam $ = S^2 = (5,28)^2 = 27,89 $

Koefisien Keragaman (KK)
    Rumus koefisien keragaman (KK) dari sekumpulan data $x_1, x_2, x_3, …, x_n $ merupakan
                     $ \begin{align} KK = \frac{S}{\overline{x}} \end{align} $

Keterangan :
$ KK = \, $ Koefisien Keragaman
$ S = \, $ simpangan baku
$ \overline{x} = \, $ nilai rata-rata data.

Baca Juga:   Statistika : Ukuran Pemusatan Data

Contoh :
Pak Murtono seorang pengbisnis. Bidang bisnis yang ia jalani merupakan penerbitan, tekstil, dan angkutan. Dalam 5 bulan terakhir, ia mencatat laba higienis ketiga bidang bisnisnya. Hasilnya tampak pada Tabel berikut

Jika Pak Murtono beropini bahwa bidang bisnis yang akan dipertahankan hanya dua bidang bisnis dengan kriteria bidang bisnis dengan laba higienis yang stabil, tentukanlah bidang bisnis yang sebaiknya tak dilanjutkan.
Penyelesaian :
*). Menghitung rataan, simpangan baku, dan koefisien keragaman dari setiap bidang bisnis.
i). Bidang bisnis penerbitan
$ \begin{align} \overline{x} & = \frac{60+116+100+132+72}{5} = 96 \\ S & = \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} (x_i – \overline{x})^2}{n-1}} \\ & = \sqrt{\frac{(60-96)^2+(116-96)^2+(100-96)^2+(132-96)^2+(72-96)^2}{5-1}} \\ & = \sqrt{\frac{3584}{4}} = 29,93 \\ KK & = \frac{S}{\overline{x}} = \frac{29,93}{96} = 0,31 \end{align} $

ii). Bidang bisnis tekstil
$ \begin{align} \overline{x} & = 156 \\ S & = 40,69 \\ KK & = \frac{S}{\overline{x}} = \frac{40,69}{156} = 0,26 \end{align} $

ii). Bidang bisnis angkutan
$ \begin{align} \overline{x} & = 161,6 \\ S & = 100,58 \\ KK & = \frac{S}{\overline{x}} = \frac{100,58}{161,6} = 0,62 \end{align} $
Jadi, sebaiknya Pak Murtono tak melanjutkan bisnis angkutan lantaran manfaatnya tak stabil (nilai KK paling besar).

Ukuran Penyebaran Data pada Nilai Kuartil
       Dari data kita sanggup memilih nilai kuartilnya baik kuartil kesatu ($Q_1$), kuartil kedua ($Q_2$), dan kuatil ketiga ($Q_3$). Untuk cara memilih nilai kuartil, silahkan baca bahan “Statistika : Ukuran Letak Data“. Dari nilai-nilai kuartil tersebut juga berlaku ukuran penyebaran ialah Jangkauan antarkuartil (Hamparan) yang kita simbolkan dengan JK dan Jangkauan semi antarkuartil (Simpangan Kuartil) yang kita simbolkan dengan SK.
Rumus masing-masing :
$ \begin{align} JK = Q_3 – Q_1 \, \, \, \, \text{ dan } \, \, \, SK = \frac{1}{2}(JK) = \frac{1}{2}(Q_3 – Q_1) \end{align} $
       Dari nilai penyebaran pada kuartil dikenal juga istilah Langkah (L), yang dirumuskan :
$ \begin{align} L = \frac{3}{2} (JK) = \frac{3}{2}(Q_3 – Q_1) \end{align} $

Catatan :
Buku lain juga menyebutkan istilah Jangkauan antarkuartil = Jangkauan interkuartil dan Jangkauan semi antarkuartil = Jangkauan semi interkuartil .

Pencilan (Outlier)
       Istilah Pagar dalam dan pagar luar :
*). Pagar dalam (PD) merupakan nilai data yang berada satu langkah di bawah kuartil pertama. Rumusnya : $ PD = Q_1 – L $
*). Pagar luar (PL) merupakan nilai data yang berada satu langkah di atas kuartil ketiga.. Rumusnya : $ PL = Q_3 + L $

Baca Juga:   Statistika : Penyajian Data

Pengertian Pencilan :
       Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar disebut pencilan. Pencilan merupakan datum yang terdapat karakteristik berbeda dari datum lainnya. Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yang tak konsisten (tak normal) dalam kumpulan data.

Contoh :
Hasil tes matematika dari 20 siswa tercatat sebagai berikut.
70, 68, 71, 68, 66, 73, 65, 74, 65, 64, 78, 79, 61, 81, 60, 97, 44, 64, 83, 56.
Jika ada data pencilan, tentukan datum tersebut.
Penyelesaian :
*). Data sesudah diurutkan menjadi :
44, 56, 60, 61, 64, 64, 65, 65, 66, 68, 68, 70, 71, 73, 74, 78, 79, 81, 83, 97
ada 20 datum ($n =20$) .
*). Menentukan nilai kuartil data, jangkauan antarkuartil, langkah, pagar dalam(PD) dan pagar luar(PL).
$ \begin{align} Q_1 & = X_{\frac{1}{4}(n+1)} = X_{\frac{1}{4}(20+1)} = X_{5,25} \\ Q_1 & = x_5 + 0,25(x_6 – x_5) \\ & = 64 + 0,25(64-64) = 64 + 0 = 64 \\ Q_2 & = X_{\frac{2}{4}(n+1)} = X_{\frac{2}{4}(20+1)} = X_{10,5} \\ Q_2 & = x_{10} + 0,5(x_{11} – x_{10}) \\ & = 68 + 0,5(68-68) = 68 + 0 = 68 \\ Q_3 & = X_{\frac{3}{4}(n+1)} = X_{\frac{3}{4}(20+1)} = X_{15,75} \\ Q_3 & = x_{15} + 0,75(x_{16} – x_{15}) \\ & = 74 + 0,75(78-74) = 74 + 3 = 77 \\ JK & = Q_3 – Q_1 = 77 – 64 = 13 \\ L & = \frac{3}{2}(JK) = \frac{3}{2}.(13) = 19,5 \\ PD & = Q_1 – L = 64 – 19,5 = 44,5 \\ PL & = Q_3 + L = 77 + 19,5 = 96,5 \end{align} $
Jadi, ada dua pencilan dalam data ini, ialah 44 dan 97 lantaran datum 44 nilainya kurang dari PD dan datum 97 nilainya lebih besar dari PL.