Sudut Antara Dua Bidang Pada Dimensi Tiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Konsep sudut berkaitan dengan dimensi tiga terakhir yang akan kita bahas pada artikel ini merupakan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Sudut antara dua bidang penghitungannya lebih kompleks dibandingan dengan “Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga” dan “Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga“. Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga tak sanggup pribadi kita hitung besar sudutnya melainkan harus kita simpelkan sedemikian sesampai kemudian akan diwakili oleh dua garis, sudut dua garis ini gres sanggup kita hitung besarnya. Karena penghitungan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga pada balasannya melibatkan sudut antara dua garis, maka sebaiknya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu bahan sebelumnya adalah “Sudut Antara Dua garis pada Dimensi Tiga” dengan baik. Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga tentunya juga melibatkan konsep trigonometri menyerupai “perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku” dan “penerapan trigonometri pada segitiga : hukum cosinus“.

Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga
       Misalkan terdapat bidang V dan bidang W menyerupai pada gambar ilustrasi di atas. Jika kedua bidang belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sesampai kemudian berpotongan dan terbentuk sudut dari kedua bidang tersebut.

Langkah-langkah memilih Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga :
1). Jika bidang V dan bidang W belum berpotongan, maka geser sesampai kemudian berpotongan.
2). Lukis garis $ l $ yang merupakan perpotongan antara bidang V dan bidang W.
3). Lukis garis $ g $ pada bidang V dan garis $ h $ pada bidang W, dimana kedua garis ini tegak lurus dengan garis $ l $.
4). Sudutnya : $ \angle (V, W) = \angle (g,h) $.

Catatan :
*). Langkah berikutnya merupakan mencari sudut antara dua garis yang sudah kita pelajari pada bahan sebelumnya adalah “sudut antara dua garis pada dimensi tiga“.
*). garis $ g $ dan $ h $ harus berpotongan (harus bertemu biar terbentuk sudutnya).

Contoh soal Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara bidang ABCD dan bidang ADHE!
Penyelesaian :

*). Bidang ABCD dan bidang ADHE berpotongan pada garis AD.
*). Pilih garis AB pada bidang ABCD dan garis AE pada bidang ADHE dimana AB dan AE tegak lurus AD. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (ABCD, ADHE) = \angle (AB, AE) = \angle BAE $
*). AB dan AE tegak lurus sesampai kemudian besarnya $ 90^\circ $.
Jadi, besar sudut antara bidang ABCD dan ADHE merupakan $ 90^\circ $.

2). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara bidang ABCD dan bidang ABGH!
Penyelesaian :

*). Bidang ABCD dan bidang ABGH berpotongan pada garis AB.
*). Pilih garis BC pada bidang ABCD dan garis BG pada bidang ABGH dimana BC dan BG tegak lurus AB. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (ABCD, ABGH) = \angle (BC, BG) = \angle GBC $
*). Hubungkan kedua ujung garis adalah G ke C sesampai kemudian terbentuk segitiga GBC. Karena segitiga GBC siku-siku sama kaki, maka besar sudut $ GBC = 45^\circ $.
Jadi, besar sudut antara bidang ABCD dan ABGH merupakan $ 45^\circ $.

Baca Juga:   Cara Menggambar Atau Melukis Kubus

3). Pada kubus ABCD.EFGH. Jika $ \theta $ merupakan sudut antara bidang BDE dan bidang BDG, maka tentukan nilai $ \tan \theta $!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P terletak ditengah rusuk BD.
*). Bidang BDE dan bidang BDG berpotongan pada garis BD.
*). Pilih garis GP pada bidang BDG dan garis EP pada bidang BDE dimana EP dan GP tegak lurus BD. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (BDE, BDG) = \angle (EP, GP) = \angle EPG = \theta $
*). Panjang sisi segitiga EPG :
pada segitiga EAP,
$ EP = \sqrt{EA^2 + AP^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
$ EG = 2\sqrt{2} $ dan $ GP = EP = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga EPG dengan hukum cosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{EP^2 + GP^2 – EG^2}{2.EP.GP} \\ & = \frac{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 – (2\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{6}.\sqrt{6} } \\ & = \frac{6 + 6 – 8}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Kita peroleh : $ \cos \theta = \frac{1}{3} = \frac{sa}{mi} $
pada segitiga siku-siku :
$ depan = \sqrt{mi^2 – sa^2} = \sqrt{3^2 – 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
Sesampai kemudian nilai $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2} $.
Jadi, nilai $ \tan \theta = 2\sqrt{2} $.

4). Pada kubus ABCD.EFGH. Jika $ \theta $ merupakan sudut antara bidang BEG dan bidang ABGH, maka tentukan nilai $ \cos \theta $!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P dan Q terletak berturut-turut ditengah BG dan AH.
*). Bidang BEG dan bidang ABGH berpotongan pada garis BG.
*). Pilih garis EP pada bidang BEG dan garis PQ pada bidang ABGH dimana EP dan PQ tegak lurus BG. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (BEG,ABGH) = \angle (EP, PQ) = \angle EPQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga EPQ siku-siku di Q :
$ PQ = 2 $ dan $ EQ = \frac{1}{2}ED = \sqrt{2} $
$ EP = \sqrt{PQ^2 + EQ^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga EPQ :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} = \frac{PQ}{EP} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

5). Titik T terletak ditengah AB pada kubus ABCD.EFGH. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang TED dan bidang ADHE!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik M terletak ditengah DE.
*). Bidang TED dan bidang ADHE berpotongan pada garis DE.
*). Pilih garis TM pada bidang TED dan garis AM pada bidang ADHE dimana TM dan AM tegak lurus DE. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (TED,ADHE) = \angle (TM, AM) = \angle TMA = \theta $
*). Panjang sisi segitiga ATM siku-siku di A :
$ AT = 1 $ dan $ AM = \frac{1}{2}AH = \sqrt{2} $
$ TM = \sqrt{AT^2 + AM^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga ATM :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} = \frac{AM}{TM} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{2}{3}\sqrt{6} $.

Baca Juga:   Konsep Jarak Pada Dimensi Tiga Atau Berdiri Ruang

6). Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk bantalan 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Tentukan nilai tangen sudut antara bidang TAD dan bidang ABCD!
Penyelesaian :

*). Titik P dan Q berturut-turut terletak ditengah AD dan AC.
*). Bidang TAD dan bidang ABCD berpotongan pada garis AD.
*). Pilih garis TP pada bidang TAD dan garis PQ pada bidang ABCD dimana TP dan PQ tegak lurus AD. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (TAD,ABCD) = \angle (TP, PQ) = \angle TPQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga TPQ siku-siku di Q :
$ AQ = \sqrt{2} $ dan $ PQ = \frac{1}{2}AB = 1 $
$ TQ = \sqrt{AT^2 – AQ^2} = \sqrt{3^2 – (\sqrt{2})^2} = \sqrt{7} $
*). Menentukan nilai $ \tan \theta $ pada segitiga TPQ :
$ \begin{align} \tan \theta & = \frac{de}{sa} = \frac{TQ}{PQ} = \frac{\sqrt{7}}{1} = \sqrt{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \sqrt{7} $.

7). Pada limas segiempat beraturan P.ABCD dengan panjang rusuk bantalan 4 cm dan rusuk tegak 5 cm. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang PAD dan bidang PBC!
Penyelesaian :

*). Karena bidang PAD dan PBC berpotongan pada satu titik saja (bukan pada sebuah garis), maka kita buat bidang yang melalui titik P dan tegak lurus bidang PAD dan PBC adalah bidang PMN. Bidang PMN memotong bidang PAD dan PBC masing-masing pada garis PM dan PN, Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (PAD,PBC) = \angle (PM, PN) = \angle MPN = \theta $
*). Panjang sisi segitiga PMN :
Pada segitiga PBN
$ PN = \sqrt{PB^2 – BN^2} = \sqrt{5^2 – 2^2} = \sqrt{21} $
$ MN = 4 $ dan $ PM = PN = \sqrt{21} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga PMN dengan hukum kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{PM^2 + PN^2 – MN^2}{2.PM.PN} \\ & = \frac{( \sqrt{21})^2 + ( \sqrt{21})^2 – 4^2}{2. \sqrt{21}. \sqrt{21}} \\ & = \frac{21 + 21 – 16}{42} = \frac{26}{42} = \frac{13}{21} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{13}{21} $.

8). Pada limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk bantalan 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang TAD dan bidang TAB!
Penyelesaian :

*). Bidang TAD dan bidang TAB berpotongan pada garis AT.
*). Kita pilih titik P pada garis AT sesampai kemudian garis BP pada bidang TAB dan garis DP pada bidang TAD tegak lurus dengan garis AT. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (TAD, TAB) = \angle (PB,PD) = \angle BPD = \theta $
*). Perhatikan segitiga TAB :
$ TQ = \sqrt{AT^2 – AQ^2} = \sqrt{3^2 – 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
dengan konsep luas pada segitiga TAB :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AT.PB & = \frac{1}{2}.AB.TQ \\ AT.PB & = AB.TQ \\ 3.PB & = 2.2\sqrt{2} \\ PB & = \frac{4\sqrt{2}}{3} \end{align} $
*). Panjang sisi segitiga BPD :
Pada segitiga PBN
$ BP = PD = \frac{4\sqrt{2}}{3} $ dan $ BD = 2\sqrt{2} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga BPD dengan hukum kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{BP^2 + PD^2 – BD^2}{2.BP.PD} \\ & = \frac{( \frac{4\sqrt{2}}{3})^2 + ( \frac{4\sqrt{2}}{3})^2 – (2\sqrt{2})^2}{2. \frac{4.\sqrt{2}}{3}. \frac{4\sqrt{2}}{3}} \\ & = \frac{\frac{32}{9} + \frac{32}{9} – 8}{\frac{64}{9}} \times \frac{9}{9} \\ & = \frac{32+32 – 72}{64} = \frac{-8}{64} = -\frac{1}{8} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = -\frac{1}{8} $.

Baca Juga:   Jarak Titik Dan Bidang Pada Dimensi Tiga

9). Tentukan nilai sinus sudut antara bidang BDHF dan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P dan Q terletak berturut-turut ditengah FH dan BD.
*). Bidang AFH dan bidang BDHF berpotongan pada garis FH.
*). Pilih garis AP pada bidang AFH dan garis PQ pada bidang BDHF dimana AP dan PQ tegak lurus FH. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (AFH,BDHF) = \angle (AP, PQ) = \angle APQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga APQ siku-siku di Q :
$ PQ = AE = 2 $ dan $ AQ = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $
$ AP = \sqrt{PQ^2 + AQ^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ pada segitiga APQ :
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} = \frac{AQ}{AP} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{3} $.

10). Pada kubus ABCD.EFGH. Tentukan besar sudut antara bidang ACGE dan bidang CFH!
Penyelesaian :

*). Titik P terletak ditengah garis FH.
*). Bidang ACGE dan bidang CFH berpotongan pada garis CP.
*). Pilih garis FP pada bidang CFH dan garis PQ pada ekspansi bidang ACGE dimana FP dan PQ tegak lurus CP. Sesampai kemudian sudutnya :
$ \angle (CFH, ACGE) = \angle (FP, PQ) = \angle FPQ = \theta $
*). Segitiga CPG sebangun dengan segitiga CPQ :
$ \begin{align} \frac{CP}{CQ} & = \frac{CG}{CP} \\ CP^2 & = CQ. CG \\ (\sqrt{6})^2 & = CQ.2 \\ 6 & = 2CQ \\ CQ & = 3 \end{align} $
Sesampai kemudian $ GQ = CQ – CG = 3 – 2 = 1 $
$ PQ = \sqrt{CQ^2 – CP^2} = \sqrt{3^2 – (\sqrt{6})^2} = \sqrt{3} $
Pada segitiga FGQ :
$ FQ = \sqrt{FG^2 + GQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga FPQ dengan hukum kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{FP^2 + PQ^2 – FQ^2}{2.FP.PQ} \\ & = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 – ( \sqrt{5})^2}{2 .\sqrt{2}.\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 + 3 – 5}{2\sqrt{6}} = \frac{0}{2\sqrt{6}} \\ \cos \theta & = 0 \\ \theta & = 90^\circ \end{align} $
Jadi, sudut antara ACGE dan CFH merupakan $ 90^\circ $.

       Demikian pembahasan bahan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan dimensi tiga adalah “melukis bidang irisan“.