Sudut Antara Dua Garis Pada Dimensi Tiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari konsep jarak pada dimensi tiga, pada artikel ini kita akan melanjutkan pembahasan bahan yang berkaitan dengan dimensi tiga adalah Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga. Besarnya Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga sanggup kita hitung apabila kedua garis sudah berptongan, apabila tak maka harus ada yang kita geser sejajar garis awal sesampai lalu kedua garis berpotongan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka besar sudutnya $ 0^\circ $ alasannya apabila kita geser maka kedua garis akan berimpit. Namun pada soal-soal biasanya jarang kita temukan dimana kedua garisnya sejajar. Dalam penghitungan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga melibatkan konsep trigonometri. Ada dua rumus dasar trigonometri yang akan kita gunakan adalah “perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku” dan “penereapan trigonometri pada segitiga adalah hukum kosinus“. Ini artinya, untuk memudahkan mempelajari bahan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai kedua bahan trigonometri tersebut. Karena berkaitan dengan rumus trigonometri, maka pada soal-soal selain menyakan besar Sudut Antara Dua Garis, juga menanyakan nilai perbandingan trigonometrinya ibarat nilai sin, nilai cos, nilai tan, dan lainnya.

Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga
       Misalkan terdapat garis $ g $ dan $ h $. Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sesampai lalu kedua garis berpotongan. Dalam menggeser garis harus tetap sejajar dengan posisi garis awalnya. Sudut yang terbentuk merupakan pada perpotongan kedua garis yang dibatasi kedua garis (baik garis awal inginpun garis hasil pergeserannya).

Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga :
1). Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser sesampai lalu berpotongan.
2). Hubungakan kedua ujung garis sesampai lalu terbentuk segitiga.
3). Ada dua kecukupan besar sudutnya, adalah :
(i). Besar sudut pribadi sanggup ditebak
     a). Segitiga sama sisi, besar sudutnya $ 60^\circ $
     b). Sudut siku-siku, besar sudutnya $ 90^\circ $
     c). Segitiga siku-siku sama kaki, besar sudutnya $ 45^\circ $
(ii). Sudut tak sanggup pribadi ditebak, ada dua cara adalah :
a). Terbentuk segitiga siku-siku. Perhitungan sudutnya memakai “perbandingan trigonometri dasar” adalah $ \sin = \frac{de}{mi} $ , $ \cos = \frac{sa}{mi} $ , dan $ \tan = \frac{de}{sa} $.
b). Bukan segitiga siku-siku. Perhitungannya memakai “aturan cosinus” adalah
$ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos B \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 – 2ba \cos C \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 – c^2}{2ba} $

Baca Juga:   Jarak Dua Garis Pada Dimensi Tiga

Catatan :
*). Baik diketahui atau tak panjang rusuk pada kubus, untuk memudahkan sebaiknya kita pilih panjang rusuk yang gampang bagi kita dalam melaksanakan perhitungan, misalkan kita pilih panjang rusuknya 2, atau 4, atau 6, dan lainnya.
*). Kedu garis boleh diperpanjang atau diperpendek yang bertujuan untuk memudahkan dalam perhitungan alasannya sudutnya akan tetap besarnya.

Contoh soal Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara BG dan CH?
Penyelesaian :

*). Karena BG dan CH belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser CH ke BE (CH dan BE sejajar), sesampai lalu sudutnya sama dengan BG dan BE.
*). Hubungkan kedua ujung garis adalah E ke G sesampai lalu terbentuk segitiga EBG. sesampai lalu
$ \angle (BG, CH) = \angle (BG, BE) = \angle EBG $
*). Karena segitiga EBG sama sisi, maka besar sudutnya $ 60^\circ $.
Jadi, besar sudut BG dan CH merupakan $ 60^\circ $.
Catatan : kita juga sanggup menggeser BG ke AH sesampai lalu sudutnya AHC = $ 60^\circ $

2). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara AE dan FG?
Penyelesaian :

*). Karena AE dan FG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser FG ke AD (FG dan AD sejajar), sesampai lalu sudutnya sama dengan AE dan AD.
$ \angle (AE, FG) = \angle (AE, AD) = \angle EAD $
*). Karena AE dan AD tegak lurus, maka besar sudutnya $ 90^\circ $.
Jadi, besar sudut AE dan FG merupakan $ 90^\circ $.
Catatan : kita juga sanggup menggeser AE ke FB sesampai lalu sudutnya BFG = $ 90^\circ $

3). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara AH dan BC?
Penyelesaian :

*). Karena AH dan BC belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BC ke AD (BC dan AD sejajar), sesampai lalu sudutnya sama dengan AH dan AD.
*). Hubungkan kedua ujung garis adalah H ke D sesampai lalu terbentuk segitiga ADH. sesampai lalu
$ \angle (AH, BC) = \angle (AH, AD) = \angle DAH $
*). Karena segitiga ADH siku-siku sama kaki dengan AD = DH,
maka besar sudutnya $ \angle DAH = 45^\circ $.
Jadi, besar sudut AH dan BC merupakan $ 45^\circ $.
Catatan : kita juga sanggup menggeser AH ke BG sesampai lalu sudutnya CBG = $ 45^\circ $

4). Pada kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 2019. Jika $ \theta $ merupakan sudut yang terbentuk oleh AG dan AC, maka tentukan nilai $ \sin \theta $!
Penyelesaian :

*). AG dan AC berptongan di A sesampai lalu sudutnya :
$ \theta = \angle (AG, AC) = \angle CAG $
*). Meskipun pada soal diketahui panjang rusuknya 2019, kita pilih panjang rusuk yang gampang dihitung adalah 2. (nilainya akan sama alasannya pada trigonometri memakai konsep perbandingan sesampai lalu niscaya sanggup disimpelkan).
*). Segitiga CAG siku-siku di C dengan panjang :
$ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ , $ AC = 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ dan $ CG = 2 $.
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{CG}{AG} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{3} $.

Baca Juga:   Konsep Jarak Pada Dimensi Tiga Atau Berdiri Ruang

5). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara CE dan BG?
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena CE dan BG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BG ke PQ (BG dan AQ sejajar), dimana CE dan PQ berpotongan di O, sesampai lalu sudutnya sama dengan OE dan OQ.
*). Hubungkan kedua ujung garis adalah E ke Q sesampai lalu terbentuk segitiga EOQ. sesampai lalu
$ \angle (CE, BG) = \angle (CE, PQ) = \angle (OE, OQ) = \angle EOQ $
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EOQ,
$ OE = \frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}(2\sqrt{3}) = \sqrt{3} $
$ OQ = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2}(2\sqrt{2}) = \sqrt{2} $
Pada segitiga EHQ :
$ EQ = \sqrt{EH^2 + HQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
*). Menentukan besar sudut EOQ dengan hukum cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle EOQ & = \frac{OE^2 + OQ^2 – EQ^2}{2.OE.OQ} \\ & = \frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 – (\sqrt{5})^2}{2.\sqrt{3}.\sqrt{2}} \\ & = \frac{3 + 2 – 5}{2\sqrt{6} } \\ & = \frac{0}{2\sqrt{6} } \\ \cos \angle EOQ & = 0 \\ EOQ & = 90^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut CE dan BG merupakan $ 90^\circ $.

6). Pada kubus ABCD.EFGH dan titik P terletak di tengah CG. Misalkan $ \theta $ merupakan sudut yang terbentuk oleh BP dan AG, maka tentukan nilai $ \tan \theta$?
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena BP dan AG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BP ke GQ (BP dan GQ sejajar), sesampai lalu sudutnya sama dengan AG dan GQ.
*). Hubungkan kedua ujung garis adalah A ke Q sesampai lalu terbentuk segitiga AGQ. sesampai lalu
$ \angle (AG, BP) = \angle (AG, GQ) = \angle AGQ $

Cara I :
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga AGQ,
$ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Pada segitiga ABQ :
$ AQ = \sqrt{AB^2 + BQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ GQ = AQ = \sqrt{5} $
*). Menentukan nilai cosinus sudut AGQ dengan hukum cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle AGQ & = \frac{AG^2 + GQ^2 – AQ^2}{2.AG.GQ} \\ & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 – (\sqrt{5})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ & = \frac{12 + 5 – 5}{4\sqrt{15} } \\ & = \frac{12}{4\sqrt{15} } \\ \cos \angle EOQ & = \frac{3}{\sqrt{15} } = \frac{sa}{mi} \end{align} $
Dengan pythagoras :
$ depan = \sqrt{mi^2 – sa^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 – 3^2} = \sqrt{6} $
Sesampai lalu nilai $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

Baca Juga:   Jarak Garis Dan Bidang Pada Dimensi Tiga

Cara II :
*). Dari cara I di atas, kita taris garis QR yang memotong AG di tengah-tengah dimana QR tegak lurus dengan AG.
*). Perhatikan segitiga GOQ siku-siku di O :
$ OG = \frac{1}{2}AG = \sqrt{3} $ dan $ OQ = \frac{1}{2} QR = \sqrt{2} $
sesampai lalu nilai :
$ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{QO}{OG} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

7). Pada kubus ABCD.EFGH, terdapat titik R yang merupakan perpanjangan rusuk CG dengan perbandingan $ CG : GR = 2:1 $. Tentukan nilai $ \sin \theta $ dimana $ \theta $ merupakan sudut yang terbentuk antara CR dan AR!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). CR dan AR berpotongan di R sesampai lalu sudutnya $ \theta = \angle ARC $
*). Menentukan panjang sisi segitiga ACR siku-siku di C
$ AC = 2\sqrt{2} $ , $ CQ = 3 $
$ AR = \sqrt{AC^2 + CR^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{17} $
Sesampai lalu nilai :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{AR} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = \frac{2}{17}\sqrt{34} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{2}{17}\sqrt{34} $

8). Pada kubus ABCD.EFGH dan titik P terletak di tengah-tengah CG. Tentukan nilai $ \cos \theta $ dimana $ \theta $ merupakan sudut yang terbentuk antara BP dan CE!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena BP dan CE belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BP ke EQ (BP dan EQ sejajar), sesampai lalu sudutnya sama dengan CE dan EQ. Titik Q terletak pada kubus di atasnya yang panjang rusuknya sama adalah 2. Kubus gres ini kita buat untuk memudahkan dalam penghitungan.
*). Hubungkan kedua ujung garis adalah C ke Q sesampai lalu terbentuk segitiga CEQ. sesampai lalu
$ \angle (CE, BP) = \angle (CE, EQ) = \angle CEQ = \theta $
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga CEQ,
$ CE = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Pada segitiga HEQ :
$ EQ = \sqrt{EH^2 + HQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
Pada segitiga CDQ :
$ CQ = \sqrt{CD^2 + DQ^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $
*). Menentukan nilai cosinus sudut CEQ dengan hukum cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle CEQ & = \frac{CE^2 + EQ^2 – CQ^2}{2.CE.EQ} \\ \cos \theta & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 – (\sqrt{13})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{13}} \\ & = \frac{12 + 5 – 13}{4\sqrt{39} } \\ & = \frac{4}{4\sqrt{39} } \\ \cos \theta & = \frac{1}{\sqrt{39} } = \frac{1}{39}\sqrt{39} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{1}{39}\sqrt{39} $.

       Demikian pembahasan bahan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan dimensi tiga adalah “Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga“.