Sudut Antara Garis Dan Bidang Pada Dimensi Tiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah membahas bahan “sudut antara dua garis pada dimensi tiga”, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga. Langkah-langkah Penghitungan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga ini sedikit lebih sulit dibandingkan menghitung besarnya sudut antara dua garis alasannya yaitu melibatkan “konsep proyeksi garis pada bidang” biar dijamin sudut yang kita peroleh merupakan sudut terkecil. Silahkan teman-teman pelajari terlebih dahulu konsep proyeksi pada artikel “Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang“. Setelah mengetahui proyeksi, Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga sanggup kita simpelkan menjadi sudut antara dua garis, sesampai kemudian kita harus menguasai juga bahan sebelumnya yang berkaitan dengan “sudut antara dua garis pada dimensi tiga“. Jika garis dan bidang sejajar, maka besarnya sudut yang terbentuk merupakan $ 0^\circ $. Namun pada soal-soal, kita akan jarang menjumpai masalah garis dan bidangnya sejajar.

Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga
       Perhatikan gambar gambaran di atas. Misalkan terdapat garis $ g $ dan bidang V. Jika garis dan bidang belum berpotongan (belum bertemu), maka geser salah satu (atau keduanya) sesampai kemudian berpotongan dan terbentuk sudutnya.

Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :
1). Jika garis $ g $ dan bidang V belum berpotongan, maka geser sesampai kemudian berpotongan.
2). Lukis garis $ h $ yang merupakan hasil proyeksi garis $ g $ pada bidang V.
3). Sudutnya : $ \angle (g, V) = \angle (g, h) $

Cara lain untuk memilih garis $ h $ :
a). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan tegak lurus bidang V.
b). Garis $ h $ merupakan perpotongan bidang V dan bidang W.

Catatan :
*). Langkah berikutnya merupakan mencari sudut antara dua garis yang sudah kita pelajari pada bahan sebelumnya yaitu “sudut antara dua garis pada dimensi tiga“.

Contoh soal Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut garis BG an bidang bantalan (bidang ABCD)?
Penyelesaian :

*). Hasil proyeksi BG pada bidang bantalan (bidang ABCD) merupakan BC. Sesampai kemudian sudutnya : $ \angle (BG, ABCD) = \angle (BG, BC) $
*). Hubungkan ujung kedua garis yaitu C ke G sesampai kemudian terbentuk segitiga BCG siku-siku sama kaki sesampai kemudian besar sudutnya $ \angle CBG = 45^\circ $.
Jadi, sudut BG dan ABCD merupakan $ 45^\circ $.

Baca Juga:   Menentukan Bidang Diagonal Pada Berdiri Ruang

Catatan : Cara lain memproyeksikan
*). Buat bidang melalui BG dan tegak lurus ABCD yaitu bidang BCGF.
*). Bidang ABCD dan BCGF berpotongan pada garis BC, sesampai kemudian hasil proyeksi BG pada ABCD merupakan BC.

2). Jika $ \theta $ merupakan sudut yang dibuat antara garis AC dan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH, maka tentukan nilai $ \sin \theta $ !
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui AC dan tegak lurus bidang BDG yaitu bidang ACGE dimana kedua bidang berpotongan pada garis GP. Sesampai kemudian :
$ \angle (AC, BDG) = \angle (AC, GP) = \angle GPC = \theta $.
*). Segitiga GPC siku-siku di C :
$ CP = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $ dan $ CG = 2 $
$ GP = \sqrt{CP^2 + CG^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{6} $.
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ pada segitiga GPC :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{CG}{GP} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2}{6}\sqrt{6} = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

3). Diketahui kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut antara garis AH dan bidang BDHF!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui AH dan tegak lurus bidang BDHF yaitu bidang ACH dimana kedua bidang berpotongan pada garis HP. Sesampai kemudian :
$ \angle (AH, BDHF) = \angle (AH, HP) = \angle AHP $.
*). Karena segitiga ACH sama kaki dan titik P terletak ditengah AC, maka segitiga AHP siku-siku di P.
*). Segitiga AHP siku-siku di P :
$ AP = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $ dan $ AH = 2\sqrt{2} $
*). Menentukan besar sudut AHP :
$ \begin{align} \sin \angle AHP & = \frac{de}{mi} = \frac{AP}{AH} \\ \sin \angle AHP & = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ \sin \angle AHP & = \frac{1}{2 } \\ \angle AHP & = 30^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut antara AH dan BDHF merupakan $ 30^\circ $.

4). Diketahui limas segitiga beraturan P.QRS dengan panjag rusuk bantalan $ a $ cm dan panjang rusuk tegak $ a\sqrt{3} $ cm. Jika sudut antara garis PS dan bidang QRS merupakan $ \alpha $, maka tentukan nilai $ \cos \alpha $!
Penyelesaian :

*). Buat bidang melalui PS dan tegak lurus bidang QRS yaitu bidang PSM dimana kedua bidang berpotongan pada garis SM. Sesampai kemudian :
$ \angle (PS, QRS) = \angle (PS, SM) = \angle PSM = \alpha $.
*). Menentukan panjang sisi segitiga PSM :
$ PS = a\sqrt{3} $
Pada segitiga SMQ :
$ SM = \sqrt{SQ^2 – QM^2} = \sqrt{a^2 – (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{3} $
Pada segitiga PMQ :
$ PM = \sqrt{PQ^2 – QM^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 – (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{11} $
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ dengan hukum cosinus :
$ \begin{align} \cos \alpha & = \frac{PS^2 + SM^2 – PM^2}{2.PS.SM} \\ & = \frac{(a\sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{3})^2 – (\frac{1}{2}a\sqrt{11})^2}{2.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}a\sqrt{3}} \\ & = \frac{3a^2 + \frac{3}{4}a^2 – \frac{11}{4}a^2}{3a^2} \\ & = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $.

Baca Juga:   Sudut Antara Dua Bidang Pada Dimensi Tiga

Cara II untuk teladan soal nomor 4 :
*). Jika kita proyeksikan PS dimana titik P akan jatuh pada titik N. Titik N merupakan titik berat segitiga QRS dengan perbandingan $ SN : NM = 2 : 1 $. Sesampai kemudian panjang SN yaitu :
$ SN = \frac{2}{3}SM = \frac{2}{3}. \frac{1}{2}a\sqrt{3} = \frac{1}{3}a\sqrt{3} $
*). segitiga SPN siku-siku di N sesampai kemudian nilai :
$ \cos \alpha = \frac{sa}{mi} = \frac{SN}{PS} = \frac{\frac{1}{3}a\sqrt{3} }{a\sqrt{3} } = \frac{1}{3} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $.

5). Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik T terletak ditengah GH. Jika $ \theta $ merupakan sudut antara garis DT dan bidang BDHF, maka tentukan $ \cos \theta $ !
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui DT dan tegak lurus bidang BDHF yaitu bidang DQT dimana kedua bidang berpotongan pada garis DP. Sesampai kemudian :
$ \angle (DT, BDHF) = \angle (DT, DP) = \angle PDT = \theta $.
*). Karena segitiga DQT sama kaki dan titik P terletak ditengah QT, maka segitiga PDT siku-siku di P.
*). Menentukan sisi segitiga PDT :
$ PT = \frac{1}{2}QT = \frac{1}{2}\sqrt{2} $
pada segitiga DHT :
$ DT =\sqrt{DH^2 + HT^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ DP = \sqrt{DT^2 – PT^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 – (\frac{1}{2}\sqrt{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga PDT:
$ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{DP}{DT} = \frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{3}{10}\sqrt{10} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{3}{10}\sqrt{10} $.

6). Titik P terletak pada perpanjangan rusuk CG sesampai kemudian $ CG = GP $ pada kubus ABCD.EFGH. Jika $ \beta $ merupakan sudut antara garis PC dan bidang BDP, maka tentukan nilai $ \tan \beta $!
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui PC dan tegak lurus bidang BDP yaitu bidang ACPS dimana kedua bidang berpotongan pada garis PQ. Sesampai kemudian :
$ \angle (PC, BDP) = \angle (PC, PQ) = \angle CPQ = \beta $.
*). Menentukan sisi segitiga CPQ :
$ QC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $ dan $ PC = 4 $
*). Menentukan nilai $ \tan \beta $ pada segitiga CPQ:
$ \tan \beta = \frac{de}{sa} = \frac{QC}{PC} = \frac{ \sqrt{2}}{4} $
Jadi, nilai $ \tan \beta = \frac{ \sqrt{2}}{4} $.

Baca Juga:   Konsep Jarak Pada Dimensi Tiga Atau Berdiri Ruang

7). Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika $ \theta $ merupakan sudut antara garis CF dan bidang ACH, maka tentukan $ \cos \theta $ !
Penyelesaian :

*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Bangun F.ACH merupakan limas segitiga beraturan dengan bantalan ACH.
*). Buat bidang melalui CF dan tegak lurus bidang ACH yaitu bidang CPF dimana kedua bidang berpotongan pada garis CP. Sesampai kemudian :
$ \angle (CF, ACH) = \angle (CF, CP) = \angle PCF = \theta $.
*). Menentukan panjang sisi segitiga PCF.
$ CF = 2\sqrt{2} $
Pada segitiga PEF :
$ PF = \sqrt{EF^2 + EP^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
$ PC = PF = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga PCF :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{PC^2 + CF^2 – PF^2}{2.PC.CF} \\ & = \frac{( \sqrt{6})^2 + (2\sqrt{2} )^2 – (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{6}.2\sqrt{2} } \\ & = \frac{8}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{1}{3} \sqrt{3} $.

       Demikian pembahasan bahan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu “Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga“.