Sudut-Sudut Pada Segitiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Matematika Sekolah Menengah Pertama : Sebelumnya kita telah mempelajari bahan “Jenis-jenis dan Sifat-sifat Segitiga“, pada artikel kali ini kita khusus membahas bahan Sudut-sudut pada Segitiga. Untuk mempermudah, juga baca bahan yang ada kaitannya dengan sudut-sudut adalah “hubungan antar sudut“.

Jumlah ketiga Sudut pada Segitiga
       Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,

*). gambar b), pada sudut-sudut segitiga ABC dipotong menurut garis k, l dan m sesampai kemudian terbentuk tiga kepingan yang sudah diberi nomor menyerupai gambar b.
*). dari ketiga kepingan pada gambar (b) kemudian disatukan sedemikian terbentuk menyerupai gambar (c), dimana ketiga berdiri membentuk garis lurus. Artinya ketiga sudut segitiga jumlahnya $180^\circ$.

Sesampai kemudian Jumlah ketiga sudut pada segitiga merupakan 180$^\circ \, $
adalah $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $.

Contoh :
1). Diketahui pada $\Delta$PQR, besar $\angle$P =48$^\circ$ dan $\angle$Q = 72$^\circ$.
Hitunglah besar $\angle$R.
Penyelesaian :
*). Jumlah ketiga sudut segitiga merupakan $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle P + \angle Q + \angle R & = 180^\circ \\ 48^\circ + 72^\circ + \angle R & = 180^\circ \\ 120^\circ + \angle R & = 180^\circ \\ \angle R & = 180^\circ – 120^\circ \\ \angle R & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle R = 60^\circ $.

2). Perhatikan segitiga KLM berikut,

Dari segitiga KLM di atas, tentukan nilai $ x \, $ dan besar semua sudut-sudut segitiganya.
Penyelesaian :
*). Jumlah ketiga sudut segitiga merupakan $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle K + \angle L + \angle M & = 180^\circ \\ x + 2x + 3x & = 180^\circ \\ 6x & = 180^\circ \\ x & = \frac{180^\circ}{6} \\ x & = 30^\circ \end{align} $
sesampai kemudian nilai $ x = 30^\circ $.
*). Menentukan besar sudut-sudut segitiganya :
$ \begin{align} \angle K & = x = 30^\circ \\ \angle L & = 2x = 2\times 30^\circ = 60^\circ \\ \angle M & = 3x = 3\times 30^\circ = 90^\circ \end{align} $
Jadi, besar $\angle $K, $\angle $L, dan $\angle $M berturut-turut merupakan 30$^\circ$, 60$^\circ$, dan 90$^\circ$.

3).Pada $\Delta$ABC diketahui $\angle $A = 50$^\circ$. Jika B : C = 2 : 3, tentukan besar $\angle $B dan $\angle $C.
Penyelesaian :
*). Kita kalikan $a $ untuk perbandingan yang ada,
$ \frac{B}{C} = \frac{2}{3} \rightarrow \frac{B}{C} = \frac{2a}{3a} $
artinya besar $ \angle B = 2a \, $ dan $ \angle C = 3a $.
*). Menentukan nilai $ a $,
$ \begin{align} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ 50^\circ + 2a + 3a & = 180^\circ \\ 5a & = 130^\circ \\ a & = \frac{130^\circ}{5} = 26^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut B dan C dengan $ a = 26^\circ $
$ \begin{align} \angle B & = 2a = 2 \times 26^\circ = 52^\circ \\ \angle C & = 3a = 3 \times 26^\circ = 78^\circ \end{align} $
Jadi, besar $\angle $B, dan $\angle $C berturut-turut merupakan 52$^\circ$, dan 78$^\circ$.

Hubungan Panjang sisi dan Sudut pada Segitiga
Perhatikan segitiga ABC berikut yang kompleks dengan panjang sisi-sisinya,

$\clubsuit$ Ketaksamaan Segitiga
       Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang daripada sisi ketiga. Jika suatu segitiga terdapat sisi a, b, dan c maka berlaku salah satu dari ketaksamaan berikut.
(i). $ a + b > c $
(ii). $ a + c > b $
(iii). $ b + c > a $
Ketaksamaan tersebut disebut ketaksamaan segitiga.

Baca Juga:   Menaksir Luas Berdiri Datar Tidak Beraturan

$\clubsuit$ Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga
       Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapan dengan sisi terpanjang, lagikan sudut terkecil terletak berhadapan dengan sisi terpendek.

$\clubsuit$ Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga
       Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tak berpelurus dengan sudut luar tersebut.

Keterangan :
*). Pada segitiga ABC, $ \angle CBD \, $ merupakan sudut luar segitiga ABC dan sudut dalamnya merupakan sudut ABC, sudut ACB, dan sudut BAC.
*). Dari kekerabatan sudut luar dan sudut dalam, kita peroleh persamaan :
$ \angle CBD = \angle BAC + \angle ACB $.

Contoh :
4). Berdasarkan gambar berikut, tentukan nilai $ x $ dan $ y $. gambar soal 4.

Penyelesaian :
*). Jumlah sudut-sudut pada segitiga merupakan $ 180^\circ$.
$ \begin{align} 80^\circ + 60^\circ + x^\circ & = 180^\circ \\ 140^\circ + x^\circ & = 180^\circ \\ x^\circ & = 40^\circ \end{align} $
sesampai kemudian nilai $ x^\circ = 40^\circ $.
*). Menentukan besar sudut $ y^\circ $ , ada dua cara adalah :
Cara I : $ x \, $ dan $ y \, $ berpelurus jumlahnya $ 180^\circ $.
$ \begin{align} x^\circ + y^\circ & = 180^\circ \\ 40^\circ + y^\circ & = 180^\circ \\ y^\circ & = 140^\circ \end{align} $
Cara II : Hubungan sudut luar dan sudut dalam,
$ y \, $ merupakan sudut luar, sesampai kemudian :
$ y = 80^\circ + 60^\circ = 140^\circ $.
Jadi, besar sudut $ x^\circ = 40^\circ \, $ dan $ y^\circ = 140^\circ$.

5). Selidikilah, apakah panjang sisi-sisi berikut sanggup dibentuk sebuah segitiga.
a. 3 cm, 6 cm, dan 8 cm
b. 4 cm, 7 cm, dan 11 cm
c. 5 cm, 8 cm, dan 14 cm
d. 10 cm, 10 cm, dan 12 cm
e. 6 cm, 9 cm, dan 16 cm
Penyelesaian :
*). Kita cek menurut ketaksamaan segitiga. Panjang tiga sisi sanggup membentuk sisi-sisi segitiga apabila ketiga sisinya memenuhi ketaksamaan segitiga.
*). Agar kita tak mengusut ketiga adminrat, maka cukup cek untuk sisi terpanjang saja.
a). 3 cm, 6 cm, dan 8 cm
$ 3 + 6 = 9 > 8 \, $ (memenuhi syarat ketaksamaan segitiga).
b). 4 cm, 7 cm, dan 11 cm
$ 4 + 7 = 11 \not{>} 11 \, $ (tak memenuhi syarat ketaksamaan segitiga).
c). 5 cm, 8 cm, dan 14 cm
$ 5 + 8 = 13 < 14 \, $ (tak memenuhi syarat ketaksamaan segitiga).
d). 10 cm, 10 cm, dan 12 cm
$ 10 + 10 = 20 > 12 \, $ (memenuhi syarat ketaksamaan segitiga).
e). 6 cm, 9 cm, dan 16 cm
$ 6 + 9 = 15 < 16 \, $ (tak memenuhi syarat ketaksamaan segitiga).

Baca Juga:   Keliling Dan Luas Segitiga

Jadi, panjang sisi-sisi yang akan membentuk segitiga merupakan bab (a) dan (d).

6). Diketahui sudut suatu segitiga PQR berbanding $\angle$P : $\angle$Q : $\angle$R = 9 : 5 : 4.
Tentukan :
a). besar $\angle$P, $\angle$Q, dan $\angle$R;
b). sisi yang terpanjang;
c). sisi yang terpendek.
Penyelesaian :
*). Untuk mempermudah pengerjaan, kita kalikan $ a $ pada perbandingannya,
$ \angle P : \angle Q : \angle R = 9 : 5 : 4 \rightarrow \angle P : \angle Q : \angle R = 9a : 5a : 4a $
artinya besar $ \angle P = 9a , \, \angle Q = 5a , \, $ dan $ \angle R = 4a $.
*). Jumlah ketiga sudut segitiga merupakan $ 180^\circ$.
$ \begin{align} \angle P + \angle Q + \angle R & = 180^\circ \\ 9a + 5a + 4a & = 180^\circ \\ 18a & = 180^\circ \\ a & = \frac{180^\circ}{18} \\ a & = 10^\circ \end{align} $
sesampai kemudian nilai $ a = 10^\circ $.
a). Menentukan besar sudut-sudut segitiganya :
$ \begin{align} \angle P & = 9a = 9\times 10^\circ = 90^\circ \\ \angle Q & = 5a = 5\times 10^\circ = 50^\circ \\ \angle R & = 4a = 4\times 10^\circ = 40^\circ \end{align} $
b). Sisi terpanjang merupakan sisi yang ada dihadapan sudut terbesar adalah sudut P, sesampai kemudian sisi terpanjangnya merupakan QR.
c). Sisi terpendek merupakan sisi yang ada dihadapan sudut terkecil adalah sudut R, sesampai kemudian sisi terpendeknya merupakan PQ.

7). Perhatikan gambar berikut,

Pada gambar tersebut $\angle B_1 = \angle B_2, \, \angle C_3 =\angle C_4, \, \angle A = 70^\circ$, dan $\angle B = 60^\circ$.
Hitunglah
a. besar $\angle C_3 + \angle C_4$;
b. besar $\angle B_2$;
c. besar $\angle D$.
Penyelesaian :
a). Perhatikan segitiga ABC, sudut $C_3 + C_4 \, $ merupakan sudut luar dari segitiga ABC, sesampai kemudian :
$ \angle C_3 + \angle C_4 = \angle B + \angle A = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ $.
Jadi, nilai $ \angle C_3 + \angle C_4 = 130^\circ $.
b). Sudut $ B_1 = B_2 \, $ artinya
$ \angle B_2 = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ $.
c). Perhatikan segitiga ABC,
$ \angle C = 180^\circ – (\angle B + \angle C) = 180^\circ – 130^\circ = 50^\circ $.
*). Pada bab a), sudut $ C_3 = C_4 \, $ artinya
$ \angle C_3 = \frac{1}{2} \times 130^\circ = 65^\circ $.
*). Perhatikan segitiga BCD,
$ \angle C = 50^\circ + 65^\circ = 115^\circ $ .
$ \angle B = \angle B_2 = 30^\circ $ .
*). Menentukan besar sudut D,
$ \begin{align} \angle B + \angle C + \angle D & = 180^\circ \\ 30^\circ + 115^\circ + \angle D & = 180^\circ \\ 145^\circ + \angle D & = 180^\circ \\ \angle D & = 35^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle D = 35^\circ $ .