Tautologi, Kontradiksi, Dan Kontingensi Budi Matematika

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “nilai kebenaran pernyataan majemuk” pada artikel sebelumnya, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika yang tentu masih merupakan submateri “logika matematika“. Untuk memilih nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, kita biasanya memakai tabel kebenaran, dari tabel tersebut kita peroleh nilai kebenaran suatu bentuk pernyataan majemuk. Nilai kebenaran pernyataan beragam sanggup kita golongkan menjadi tiga adalah Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi. Untuk mempermudah mempelajari bahan Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika ini, sebaiknya kita menguasai terlebih dahulu bahan “pernyataan majemuk“, “nilai kebenaran dan ingkarannya“, serta “nilai kebenaran pernyataan majemuk” itu sendiri yang kita tuangkan dalam bentuk tabel. Sebagai contoh, “Budi masih cowok atau Budi bukan perjaka”, nilai kebenaran dari pernyataan beragam ini merupakan BBBB, yang artinya bernilai selalu benar untuk semua kecukupan.

 
Pengertian Tautologi
       Tautologi merupakan pernyataan beragam yang selalu bernilai BENAR untuk semua kecukupan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Contoh soal Tautologi :

1). Tunjukkan bahwa pernyataan beragam $ (\sim p \Rightarrow q) \vee \sim p $ merupakan tautologi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal adalah $ p $ dan $ q $, sesampai kemudian kaya baris tebel kebenarannya adalah $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim p \Rightarrow q & ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p \\ \hline B & B & S & B & B \\ \hline B & S & S & B & B \\ \hline S & B & B & B & B \\ \hline S & S & B & S & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p $ merupakan BBBB (semuanya BENAR), sesampai kemudian pernyataan $ ( \sim p \Rightarrow q ) \vee \sim p $ merupakan tautologi.

2). Tunjukkan bahwa pernyataan beragam $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ merupakan tautologi!
Penyelesaian :
*). Ada 3 pernyataan tunggal adalah $ p $ , $ q $, dan $ r $, sesampai kemudian kaya baris tebel kebenarannya adalah $ 2^3 = 8 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
Misalkan hasil : $ X = (p \vee q) $ dan $ Y = (r \Rightarrow \sim q) $
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & \sim q & p \vee q & r \Rightarrow \sim q & X \vee Y \\ \hline B & B & B & S & B & S & B \\ \hline B & B & S & S & B & B & B \\ \hline B & S & B & B & B & B & B \\ \hline B & S & S & B & B & B & B \\ \hline S & B & B & S & B & S & B \\ \hline S & B & S & S & B & B & B \\ \hline S & S & B & B & S & B & B \\ \hline S & S & S & B & S & B & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ merupakan BBBBBBBB (semuanya BENAR), sesampai kemudian pernyataan $ (p \vee q) \vee (r \Rightarrow \sim q ) $ merupakan tautologi.

Baca Juga:   Pernyataan Beragam Yang Ekuivalen

3). Berikut pola lain dari pernyataan beragam yang bersifat tautologi. Silahkan cek kebenarannya lewat tabel kebenaran.
a). $ (p \Rightarrow q) \Rightarrow ( \sim p \vee q) $
b). $ p \vee \sim p $
c). $ ( p \wedge q) \Rightarrow p $
d). $ p \Rightarrow ( p \vee q ) $
e). $ (p \Rightarrow q) \vee ( q \Rightarrow p) $
f). $ (p \wedge \sim q) \Leftrightarrow \sim (p \Rightarrow q) $

Pengertian Kontradiksi
       Kontradiksi merupakan pernyataan beragam yang selalu bernilai SALAH untuk semua kecukupan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Catatan :
*). Kontradiksi merupakan negasi atau ingkaran dari tautologi atau sebaliknya adalah tautologi merupakan ingkaran dari kontradiksi.

Contoh soal Kontradiksi :

4). Tunjukkan bahwa pernyataan beragam $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ merupakan kontradiksi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal adalah $ p $ dan $ q $, sesampai kemudian kaya baris tebel kebenarannya adalah $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim p \Rightarrow q & \sim ( \sim p \Rightarrow q ) & \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p \\ \hline B & B & S & B & S & S \\ \hline B & S & S & B & S & S \\ \hline S & B & B & B & S & S \\ \hline S & S & B & S & B & S \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ merupakan SSSS (semuanya SALAH), sesampai kemudian pernyataan $ \sim ( \sim p \Rightarrow q ) \wedge p $ merupakan kontradiksi.

5). Berikut pola lain dari pernyataan beragam yang bersifat tautologi. Silahkan cek kebenarannya lewat tabel kebenaran.
a). $ (\sim p \wedge \sim q) \wedge \sim ( q \Rightarrow \sim r) $
b). $ (p \Rightarrow q) \wedge ( p \wedge \sim q) $
c). $ p \wedge \sim p $
d). $ p \Leftrightarrow \sim p $
e). $ p \Leftrightarrow [(p \vee \sim q) \Rightarrow (\sim p \wedge \sim q)] $
f). $ (p \wedge q) \wedge \sim p $
g). $ q \wedge ( p \wedge \sim q ) $
h). $ ( p \wedge \sim q) \wedge ( q \wedge \sim p) $
i). $ ( p \wedge \sim q) \Leftrightarrow ( p \Rightarrow q) $ .

Pengertian Kontingensi
       Kontingensi merupakan pernyataan beragam yang tak selalu bernilai BENAR dan tak selalu bernilai SALAH (bukan tautologi dan bukan kontradiksi) untuk semua kecukupan nilai kebenaran komponen-komponennya. Artinya dalam kontingensi, nilai kebenarannya sekaligus memuat BENAR dan SALAH.

Contoh soal Kontingensi :

Baca Juga:   Logika Matematika Secara Umum

6). Tunjukkan bahwa pernyataan beragam $ ( p \Rightarrow q ) \wedge p $ merupakan koningensi!
Penyelesaian :
*). Ada dua pernyataan tunggal adalah $ p $ dan $ q $, sesampai kemudian kaya baris tebel kebenarannya adalah $ 2^2 = 4 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & p \Rightarrow q & ( p \Rightarrow q ) \wedge p \\ \hline B & B & B & B \\ \hline B & S & S & S \\ \hline S & B & B & S \\ \hline S & S & B & S \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ ( p \Rightarrow q ) \wedge p $ merupakan BSSS (tak semuanya BENAR dan tak semuanya SALAH), sesampai kemudian pernyataan $ (p \Rightarrow q ) \wedge p $ merupakan kontingensi.

7). Tunjukkan bahwa pernyataan beragam $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ merupakan koningensi!
Penyelesaian :
*). Ada 3 pernyataan tunggal adalah $ p $ , $ q $, dan $ r $, sesampai kemudian kaya baris tebel kebenarannya adalah $ 2^3 = 8 $ baris.
*). Berikut tabel kebenarannya :
Misalkan hasil : $ X = (\sim p \vee q) $ dan $ Y = (p \Rightarrow \sim r) $
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & \sim p & \sim r & \sim p \vee q & p \Rightarrow \sim r & X \Leftrightarrow Y \\ \hline B & B & B & S & S & B & S & S \\ \hline B & B & S & S & B & B & B & B \\ \hline B & S & B & S & S & S & S & B \\ \hline B & S & S & S & B & S & B & S \\ \hline S & B & B & B & S & B & B & B \\ \hline S & B & S & B & B & B & B & B \\ \hline S & S & B & B & S & B & B & B \\ \hline S & S & S & B & B & B & B & B \\ \hline \end{array} $
Nilai kebenaran dari pernyataan $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ merupakan SBBSBBBB (tak semuanya BENAR dan tak semuanya SALAH), sesampai kemudian pernyataan $ (\sim p \vee q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow \sim r) $ merupakan kontingensi.

Baca Juga:   Pernyataan Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial

Catatan :
*). Untuk contoh-contoh pernyataan beragam sangat gampang kita temukan daripada mencari pola tautologi atau kontradiksi. Silahkan teman-teman daftarkan sendiri contoh-contoh kontingensi, niscaya sangat kaya pola yang sanggup kita dapatkan.

       Demikian pembahasan bahan Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Logika Matematika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan logika matematika adalah “Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen“.