Teknik Integral Membagi Pecahan

Posted on

         Pondok Soal.comTeknik Integral Membagi Pecahan ini disebut juga Teknik Pecahan Parsial atau bahasa inggrisnya Partial Fractions. Teknik ini kita gunakan untuk soal-soal integral yang sulit pribadi kita kerjakan dengan teknik-teknik integral lainnya ibarat “teknik substitusi aljabar“, “teknik integral parsial“, dan “teknik integral substitusi trigonometri“. Dari namanya, membagi pecahan, kita akan menyederhanakan bentuk pecahannya terutama penyebutnya.

         Sebenarnya untuk tipe soal yang memakai “teknik membagi pecahan” itu jarang dibahas di tingkat SMA, namun terkadang dikeluarkan pada soal seleksi masuk perguruan tinggi tinggi terutama untuk seleksi mandirinya. Mudah-mudahan dengan adanya artikel ini akan sanggup membantu kita untuk mengerjakan soal-soal yang memang tingkatnya sudah lebih sulit.

Rumus Dasar yang dipakai
       Teknik membagi pecahan ini biasanya mengarah kebentuk integral yang pangkatnya $ \, -1 \, $, sesampai lalu kita harus ingat sedikit rumus dasar yang penting :
i). $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $
ii). $ \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} . \ln (ax+b)+ c $

Sifat-sifat $ \ln \, $ (dibaca “len”) sama dengan sifat-sifat logaritma :
$ \ln a + \ln b = \ln (a.b) $
$ \ln a – \ln b = \ln \frac{a}{b} $

Cara Membagi Pecahan (Partial Fractions)
       Berikut cara membagi pecahan yang biasa di soal-soal :
Misalkan ada bentuk $(a_1x + b_1), \, (a_2x + b_2), \, $ dan $ (a_3x^2+ b_3x + c_3) \, $ yang masing-masing sudah tak sanggup difaktorkan lagi, maka cara membagi pecahannya adalah :
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^2} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^3} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} + \frac{D}{(a_2x + b_2)^3} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3) } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} $
$ \frac{f(x)}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2 } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} + \frac{Dx + E}{(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2} $
dan seterusnya.

Kita akan memilih nilai A, B, C, D, dan E dengan menyamakan nilai ruas kiri dan ruas kanan.

Contoh Soal :
1). Bagilah bentuk pecahan berikut menjadi bentuk yang lebih simpel:
a). $ \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} $
b). $ \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} $

Penyelesaian :
a). $ \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} $
*). Kita faktorkan dahulu bentuk penyebutnya :
$ x^2 – 3x = x(x-3) $.
*). Kita bagi pecahannya menjadi dua bab :
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} & = \frac{2x + 1}{x(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} \\ & = \frac{A(x-3) + Bx}{x(x-3)} \\ & = \frac{Ax – 3A + Bx}{x(x-3)} \\ \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} & = \frac{(A+B)x – 3A }{x(x-3)} \\ 2x + 1 & = (A+B)x – 3A \end{align} $
*). Menentukan nilai A dan B dari $ 2x + 1 = (A+B)x – 3A $,
dengan menyamakan nilai koefisiennya.
Kita peroleh :
$ -3A = 1 \rightarrow A = -\frac{1}{3} $
$ A + B = 2 \rightarrow -\frac{1}{3} + B = 2 \rightarrow B = \frac{7}{2} $
*). Bentuk pembagian pecahannya :
$ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} & = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} \\ \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} & = \frac{-\frac{1}{3}}{x} + \frac{\frac{7}{2}}{x-3} \\ \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} & = \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) \end{align} $
Jadi, bentuk simpelnya merupakan $ \begin{align} \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} & = \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) \end{align} $

Baca Juga:   Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

b). $ \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} $

*). Kita faktorkan dahulu bentuk penyebutnya :
$ x^2 – 2x – 8 = (x+2)(x-4) $.
*). Kita bagi pecahannya menjadi dua bab :
$ \begin{align} \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} & = \frac{ x – 3}{(x+2)(x-4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ & = \frac{A(x-4) + B(x+2)}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{Ax – 4A + Bx + 2B}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{(A+B)x – 4A + 2B}{x^2 – 2x – 8} \\ \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} & = \frac{(A+B)x – 4A + 2B}{x^2 – 2x – 8} \\ x – 3 & = (A+B)x – 4A + 2B \end{align} $
*). Menentukan nilai A dan B dari $ x – 3 = (A+B)x – 4A + 2B $,
dengan menyamakan nilai koefisiennya.
Kita peroleh :
$ A + B = 1 \, $ ….pers(i)
$ – 4A + 2B = -3 \, $ ….pers(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} A + B = 1 & \times 2 & 2A + 2B = 2 & \\ – 4A + 2B = -3 & \times 1 & – 4A + 2B = -3 & – \\ \hline & & 6A = 5 & \\ & & A = \frac{5}{6} & \end{array} $
Pers(i) : $ A + B = 1 \rightarrow \frac{5}{6} + B = 1 \rightarrow B = \frac{1}{6} $
*). Bentuk pembagian pecahannya :
$ \begin{align} \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} & = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} & = \frac{\frac{5}{6} }{x+2} + \frac{\frac{1}{6} }{x-4} \\ \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align} $
Jadi, bentuk simpelnya merupakan $ \begin{align} \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align} $

2). Tentukan hasil integral dari bentuk :
a). $ \int \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} dx $
b). $ \int \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} dx $

Penyelesaian :
*). Soal bab (a) dan (b) hanya sanggup kita integralkan dengan teknik membagi pecahan, untuk bentuk simpelnya sudah kita peroleh pada soal nomor (1) sebelumnya, sesampai lalu dibagian ini kita tinggal mengintegralkan saja.
a). $ \int \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} dx = \int \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) dx $
*). Menentukan integralnya , dan kita gunakan sifat-sifat “len” juga :
$ \begin{align} \int \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} dx & = \int \frac{1}{6} \left( \frac{-2}{x} + \frac{21}{x-3} \right) dx \\ & = \frac{1}{6} \left( \int \frac{-2}{x} dx + \int \frac{21}{x-3} dx \right) \\ & = \frac{1}{6} \left( -2 \ln x + 21 \ln (x-3) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln x^{-2} + \ln (x-3)^{21} \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln \frac{1}{x^2} + \ln (x-3)^{21} \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln (\frac{1}{x^2} (x-3)^{21} ) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{(x-3)^{21}}{x^2} \right) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \begin{align} \int \frac{2x + 1}{x^2 – 3x} dx & = \frac{1}{6} \ln \left( \frac{(x-3)^{21}}{x^2} \right) + c \end{align} $

b). $ \int \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} dx = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx $

*). Menentukan integralnya , dan kita gunakan sifat-sifat “len” juga :
$ \begin{align} \int \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} dx & = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx \\ & = \frac{1}{6} \left( \int \frac{5}{x+2} dx + \int \frac{1 }{x-4} dx \right) \\ & = \frac{1}{6} \left( 5 \ln (x+2) + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln (x+2)^5 + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \begin{align} \int \frac{ x – 3}{x^2 – 2x – 8} dx & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align} $

Baca Juga:   Jumlah Riemann Pada Integral

3). Tentukan hasil dari integral $ \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 – x^2 + 4x – 4 } dx $

Penyelesaian :
*). Soal ini tak sanggup kita kerjakan dengan teknik substitusi langsung, sesampai lalu kita akan memakai teknik membagi pecahan.
*). Memfaktorkan bentuk penyebutnya :
$ x^3 – x^2 + 4x – 4 = (x^3 + 4x) – (x^2 + 4) = x(x^2 + 4) – (x^2 + 4) = (x-1)(x^2+4) $
Jika merasa kesulitan untuk memfaktorkan, silahkan baca materinya pada “Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak”.
*). Kita bagi pecahannya menjadi dua bab :
$ \begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 – x^2 + 4x – 4 } & = \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ & = \frac{A(x^2+4) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)} \\ & = \frac{Ax^2 + 4A + Bx^2 – Bx + Cx – C }{(x-1)(x^2+4)} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} & = \frac{(A+B)x^2 + (C- B)x + 4A – C }{(x-1)(x^2+4)} \\ x^2 + x + 3 & = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A – C \end{align} $
*). Menentukan nilai A, B dan C dari $ x^2 + x + 3 = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A – C $,
dengan menyamakan nilai koefisiennya.
Kita peroleh :
$ A + B = 1 \rightarrow B = 1 – A \, $ ….pers(i)
$ C – B = 1 \, $ ….pers(ii)
$ 4A – C = 3 \rightarrow C = 4A – 3 \, $ ….pers(iii)
*). Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii)
$ \begin{align} C – B & = 1 \\ (4A – 3 ) – (1 – A) & = 1 \\ 5A – 4 & = 1 \\ A & = 1 \end{align} $
Pers(i) : $ B = 1 – A = 1 – 1 = 0 $
Pers(iii) : $ C = 4A – 3 = 4.1 – 3 = 1 $
*). Bentuk pembagian pecahannya :
$ \begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 – x^2 + 4x – 4 } & = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 – x^2 + 4x – 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{0x+1}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 – x^2 + 4x – 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} \end{align} $
*). Untuk hasil integral $ \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \, $, kita memakai teknik substitusi trigonometri yang sudah dibahas sebelumnya pada bahan “substitsui trigonometri” soal nomor (4), dengan hasil
$ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $
*). Menentukan integralnya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 – x^2 + 4x – 4 } dx & = \int \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 – x^2 + 4x – 4 } dx & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $

4). Tentukan hasil dari integral $ \int \frac{3x^2 – x }{(x+1)(x-1)^2 } dx $

Penyelesaian :
*). Soal ini tak sanggup kita kerjakan dengan teknik substitusi langsung, sesampai lalu kita akan memakai teknik membagi pecahan.
*). Kita bagi pecahannya menjadi dua bab :
$ \begin{align} \frac{3x^2 – x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{A}{x+1} + \frac{B }{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} \\ & = \frac{A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2} \\ & = \frac{A(x^2 – 2x + 1) + B(x^2 – 1) + C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2} \\ & = \frac{ Ax^2 – 2Ax + A + Bx^2 – B + Cx+C}{(x+1)(x-1)^2} \\ \frac{3x^2 – x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{ (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) }{(x+1)(x-1)^2} \\ 3x^2 – x & = (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) \end{align} $
*). Menentukan nilai A, B dan C dari $ 3x^2 – x = (A+B)x^2 +(C-2A)x + (A-B+c) $,
dengan menyamakan nilai koefisiennya.
Kita peroleh :
$ A + B = 3 \rightarrow B = 3 – A \, $ ….pers(i)
$ C – 2A = -1 \rightarrow C = 2A – 1 \, $ ….pers(ii)
$ A – B + C = 0 \, $ ….pers(iii)
*). Substitusi pers(i) dan (ii) ke pers(iii)
$ \begin{align} A – B + C & = 0 \\ A – (3 – A) + (2A – 1) & = 0 \\ 4A – 4 & = 0 \\ A & = 1 \end{align} $
Pers(i) : $ B = 3 – A = 3 – 1 = 2 $
Pers(ii) : $ C = 2A – 1 = 2.1 – 1 = 1 $
*). Bentuk pembagian pecahannya :
$ \begin{align} \frac{3x^2 – x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{A}{x+1} + \frac{B }{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} \\ \frac{3x^2 – x }{(x+1)(x-1)^2 } & = \frac{1}{x+1} + \frac{2 }{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} \end{align} $
*). Menentukan integralnya :
$ \begin{align} \int \frac{3x^2 – x }{(x+1)(x-1)^2 } dx & = \int \frac{1}{x+1} + \frac{2 }{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} dx \\ & = \int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{2 }{x-1} dx + \int \frac{1}{(x-1)^2} dx \\ & = \ln (x+1) + 2 \ln (x-1) + \int (x-1)^{-2} dx \\ & = \ln (x+1) + \ln (x-1)^2 + \frac{1}{-2+1} (x-1)^{-2+1} + c \\ & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] + \frac{1}{-1} (x-1)^{-1} + c \\ & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] – \frac{1}{(x-1)} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \begin{align} \int \frac{3x^2 – x }{(x+1)(x-1)^2 } dx & = \ln [(x+1) (x-1)^2 ] – \frac{1}{(x-1)} + c \end{align} $

Baca Juga:   Pengertian Dan Rumus Dasar Untuk Integral Tak Tentu

         Bagaimana berdasarkan teman-teman wacana bahan teknik integral membagi pecahan ini, niscaya sangat seru dan menantangkan? !!! ^_^ !!!.

         Dari hasil pengerjaan untuk sedikit teladan soal di atas, teknik membagi pecahan ini kita lakukan dengan langkah-langkah : pertama memfaktorkan terlebih dahulu bentuk penyebutnya, kedua kita ubah bentuk pecahan pada soal menjadi sedikit bab sesuai dengan hukum “membagi pecahan”, ketiga kita memilih nilai variabel (A,B,C,…dan lainnya) dengan menyamakan nilai koefisien kedua ruas, keempat gres kita integralkan sesuai kebutuhan (terkadang pribadi menggukan rumus dasar, terkadang juga kita harus memakai teknik integral lainnya lagi, inilah yang membuat tipe soal ibarat ini menjadi sulit dan menantang bagi kita).

         Teknik khusus integral membagi pecahan ini bekerjsama lebih cocok untuk bahan di kuliahan, akan tenamun untuk kurikulum gres ini (Kurikulum 2013) teknik ini dimunculkan pada matematika peminatan dan tentu berdasarkan admin pribadi ini sangat menyulitkan bagi siswa. Tapi kami yakin, dengan berguru lebih tekun dan semangat serta diimbangi dengan buku pegangan yang baik (atau sumber lain), niscaya teman-teman akan sanggup menguasainya dengan baik dan benar.