Teknik Integral Parsial

Posted on

         Pondok Soal.com – Untuk teknik integral selanjutnya kita akan membahas Teknik Integral Parsial yang secara pribadi melibatkan bentuk “turunan” dan “integral”. Teknik Integral Parsial ini kita gunakan apabila “teknik integral substitusi aljabar” secara pribadi tak berhasil untuk menuntaskan soal integralnya.

Aturan Integral Parsial
Adapun hukum Integral Parsial adalah : $ \int udv = uv – \int vdu $.

       Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, adalah satu bab merupakan fungsi $ (u) \, $ dan bab lain (fungsi yang mempunyai kandungan $ dx $) merupakan $ dv$ . Oleh lantaran itu, rumus tersebut kerap disebut integral bagian atau integral parsial.

Strategi Pemilihan fungsi $ u \, $ dan bentuk $ dv \, $ :
Untuk memudahkan dalam memakai integral parsial ini, kita pilih fungsi $ u \, $ yang diturunkannya akan menuju nol dan bentuk $ dv \, $ yang gampang kita integralkan.

Contoh soal integral parsial :
1). Tentukan hasil dari integral $ \int x\sqrt{x+2} dx $.

Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi adalah $ x \, $ dan $ \sqrt{x+2} $.
kita pilih $ u = x \, $ , lantaran apabila kita turunkan akan menuju nol hasilnya.
beda dengan fungsi $ \sqrt{x+2} \, $ , apabila diturnkan tak akan menuju nol.
Sesampai lalu sisanya merupakan $ dv = \sqrt{x+2} dx $ .
*). Mekompleksi rumus integral parsialnya :
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sqrt{x+2} dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk memilih $ v $ :
Berdasarkan rumus : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $ ,
$ \begin{align} dv = \sqrt{x+2} dx \rightarrow \int dv & = \int \sqrt{x+2} dx \\ v & = \int \sqrt{x+2} dx \\ & = \int (x+2)^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} (x+2)^{\frac{1}{2} + 1} \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2} } (x+2)^{\frac{3}{2} } \\ & = \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } \end{align} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int udv & = uv – \int vdu \\ \int udv & = x. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } – \int \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } – \frac{2}{3} \int (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } – \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} (x+2)^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } – \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{5}{2} } (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } – \frac{2}{3} . \frac{2}{5} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } – \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int x\sqrt{x+2} dx = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } – \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c $

2). Hasil dari integral $ \int x^2 \cos 2x dx \, $ merupakan ?

Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi adalah $ x^2 \, $ dan $ \cos 2x $,
Kita pilih $ u = x^2 \, $ lantaran turunannya menuju nol.
*). Mekompleksi rumusnya :
$ u = x^2 \rightarrow \frac{du}{dx} = 2x \rightarrow du = 2xdx $.
$ dv = \cos 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk memilih $ v $ :
$ \begin{align} dv = \cos 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \cos 2x dx \\ v & = \frac{1}{2} \sin 2x \end{align} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int udv & = uv – \int vdu \\ \int udv & = x^2. \frac{1}{2} \sin 2x – \int \frac{1}{2} \sin 2x . 2x dx \\ \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x – \int x \sin 2x dx \, \, \, \, \, \, \text{…pers(i)} \end{align} $

*). Bentuk $ \int x \sin 2x dx \, $ kita parsialkan lagi.
*). Ada dua fungsi adalah $ x \, $ dan $ \sin 2x $,
Kita pilih $ u = x \, $ lantaran turunannya menuju nol.
*). Mekompleksi rumusnya :
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sin 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk memilih $ v $ :
$ \begin{align} dv = \sin 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \sin 2x dx \\ v & = -\frac{1}{2} \cos 2x \end{align} $
*). Menentukan hasilnya : $ \int x \sin 2x dx \, $
$ \begin{align} \int x \sin 2x dx & = uv – \int vdu \\ & = x . (-\frac{1}{2} \cos 2x – \int (-\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \int (\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $
Artinya hasil : $ \int x \sin 2x dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x $
*). Kita substitusikan ke pers (i) :
$ \begin{align} \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x – \int x \sin 2x dx \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x – (-\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x ) \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x – \frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 – \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int x^2 \cos 2x dx = ( \frac{1}{2} x^2 – \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c $.

Baca Juga:   Apa Bedanya Integral Tertentu Dan Tak Tentu

       Untuk soal nomor (2) ini agak lebih panjang pengerjaannya lantaran kita melaksanakan integral parsial sekaya dua kali. Ada cara lain yang lebih gampang untuk menuntaskan integral parsial berkali-kali adalah teknik integral parsial yang dikembangkan oleh Tanjalin sesampai lalu kita sebut sebagai teknik Tanjalin dengan cara salah satu fungsi diturunkan hingga nol , lalu fungsi lain diintegralkan dan selanjutkan dikalikan antara turunan dan integralnya.

Aturan Integral Parsial Tanjalin
Misalkan ada bentuk integral $ \int f(x) . g(x) dx \, $ , maka pengerjaan dengan teknik Tanjalin adalah :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, f(x) \, \, \, & | \, \, \, g(x) \\ (-) \, \, f^\prime (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g(x) dx = g_1 (x) \\ (+) \, \, f^{\prime \prime } (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g_1(x) dx = g_2 (x) \\ (-) \, \, f^{\prime \prime \prime } \, \, \, (x) & | \, \, \, \int g_2(x) dx = g_3 (x) \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \int g_3(x) dx = g_4 (x) \end{align} $

Keterangan :
*). Fungsi yang diturunkan merupakan fungsi yang menuju nol apabila terus diturunkan.
*). Integral berhenti dikala turunan fungsi sebelah kirinya sudah nol.
*). Tanda sebelah kiri turunan harus ada dengan bertanda selang-seling dimulai dari positif $(+)$.
*). Cara mengalikan : Dari turunan ke integral “turun satu baris”
Baris pertama pada turunan $(f(x)) \, $ dikalikan dengan baris kedua pada integral $(g_1(x))$,
Baris kedua pada turunan $(f^\prime (x)) \, $ dikalikan dengan baris ketiga pada integral $(g_2(x))$,
Baris ketiga pada turunan $(f^{\prime \prime } (x)) \, $ dikalikan dengan baris keempat pada integral $(g_3(x))$,
begitu seterusnya, dan nol $(0)$ tak perlu dikalikan.

Sesampai lalu hasil integralnya :
$ \begin{align} \int f(x) . g(x) dx & = +f(x) \times g_1(x) + (- f^\prime (x)) \times g_2 (x) + \\ & (+f^{\prime \prime } (x)) \times g_3 (x) +(- f^{\prime \prime \prime }) \times g_4(x) + c \\ \int f(x) . g(x) dx & = f(x) g_1(x) – f^\prime (x) g_2 (x) + \\ & f^{\prime \prime } (x) g_3 (x) – f^{\prime \prime \prime } g_4(x) + c \end{align} $

Contoh soal :
3). Kita akan selesaikan soal nomor (1) dan nomor (2) di atas dengan cara Tanjalin :
*). soal nomor (1) : $ \int x\sqrt{x+2} dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x \, \, \, & | \, \, \, \sqrt{x+2} = (x+2)^\frac{1}{2} \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} \end{align} $

Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : “turun satu baris”
$ \begin{align} \int x\sqrt{x+2} dx & = (+x) \times \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} + (-1) \times \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^\frac{3}{2} – \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c \end{align} $

*). Soal nomor (2) : $ \int x^2 \cos 2x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x^2 \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2}. (-\frac{1}{2} \cos 2x ) = – \frac{1}{4} \cos 2x \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{4} . \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{1}{8} \sin 2x \end{align} $

Baca Juga:   Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : “turun satu baris”
$ \begin{align} \int x^2 \cos 2x dx & = (+x^2) \times \frac{1}{2} \sin 2x + (-2x) \times – \frac{1}{4} \cos 2x + (+2) \times -\frac{1}{8} \sin 2x + c \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x -\frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 – \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x + c \end{align} $

Hasilnya ternyata sama dengan balasan sebelumnya di atas hanya dengan teknik integral parsial biasa.

4). Tentukan hasil dari integral $ \int 2x^3 \cos x dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin pribadi :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x^3 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 6x^2 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 12x \, \, \, & | \, \, \, -\cos x \\ (-) \, \, 12 \, \, \, & | \, \, \, – \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \end{align} $

Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : “turun satu baris”
$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x dx & = (+2x^3) \times \sin x + (-6x^2) \times (-\cos x) + (+12x) \times (- \sin x) \\ & \, \, \, \, \, + (-12) \times \cos x + c \\ & = 2x^3 \sin x + 6x^2 \cos x – 12x \sin x -12 \cos x + c \, \, \, \, \text{(kelompokkan)} \\ & = ( 2x^3 – 12x) \sin x + (6x^2 -12) \cos x + c \end{align} $

5). Tentukan hasil integral dari bentuk :
a). $ \int 4x \sin x \cos x dx $
b). $ \int 2x \cos ^2 x dx $
c). $ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx $

Penyelesaian :
*). Pada masing-masing soal pada nomor (5) ini ada tiga fungsi sesampai lalu tak sanggup pribadi kita parsialkan, artinya fungsi trigonometrinya harus kita pecah atau kita gabungkan terlebih dahulu.
a). Ingat rumus : $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $,
Sesampai lalu fungsinya : $ 4x \sin x \cos x = 2x . 2\sin x \cos x = 2x \sin 2x $.
Soalnya menjadi : $ \int 4x \sin x \cos x dx = \int 2x \sin 2x dx $
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \sin 2x \\ (-) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{2} \cos 2x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x = – \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $

*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : “turun satu baris”
$ \begin{align} \int 4x \sin x \cos x dx & = (+2x ) \times (-\frac{1}{2} \cos 2x) + (-2) \times (- \frac{1}{4} \sin 2x ) + c \\ & = -x \cos 2x) + \frac{1}{2} \sin 2x + c \end{align} $

b). Ingat rumus : $ \cos ^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x $,
Sesampai lalu fungsinya : $ 2x \cos ^2 x = 2x (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x) = x + x \cos 2x $.
Soalnya menjadi : $ \int 2x \cos ^2 x dx = \int x + x \cos 2x dx = \int x dx + \int x \cos 2x dx $
Yang kita parsialkan hanya bentuk $ \int x \cos 2x dx $
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} . -\frac{1}{2} \cos 2x = – \frac{1}{4} \cos 2x \end{align} $

*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : “turun satu baris”
$ \begin{align} \int x \cos 2x dx & = (+x ) \times (\frac{1}{2} \sin 2x) + (-1) \times (- \frac{1}{4} \cos 2x ) + c \\ & = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c \end{align} $

Baca Juga:   Menentukan Panjang Busur Dengan Integral

*). Sesampai lalu hasil hasilnya :
$ \begin{align} \int 2x \cos ^2 x dx & = \int x dx + \int x \cos 2x dx \\ & = \frac{1}{2}x^2 + (\frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x) + c \\ & = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c \end{align} $

c). Ingat rumus : $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) $,
Sesampai lalu fungsinya :
$ 6x \cos (3x) \cos (2x) = 3x . 2\cos (3x) \cos (2x) = 3x (\cos 5x + \cos x ) = 3x \cos 5x + 3x \cos x $.
Soalnya menjadi :
$ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx = \int 3x \cos 5x + 3x \cos x dx = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx $
Kita parsialkan keduanya,
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
Bentuk pertama : $ \int 3x \cos 5x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos 5x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} \sin 5x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} . -\frac{1}{5} \cos 5x = – \frac{1}{25} \cos 5x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : “turun satu baris”
$ \begin{align} \int 3x \cos 5x dx & = (+3x ) \times (\frac{1}{5} \sin 5x) + (-3) \times (- \frac{1}{25} \cos 5x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + c \end{align} $

Bentuk kedua : $ \int 3x \cos x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, – \cos x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : “turun satu baris”
$ \begin{align} \int 3x \cos x dx & = (+3x ) \times ( \sin x) + (-3) \times (- \cos x ) + c \\ & = 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $

*). Sesampai lalu hasil hasilnya :
$ \begin{align} \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx & = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx \\ & = (\frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x ) + (3 x \sin x + 3 \cos x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $

6). Tentukan integral dari $ \int 2x^3 \cos x^2 dx $

Penyelesaian :
*). Untuk soal ini, kita tak sanggup pribadi memakai teknik parsial lantaran kita akan kesulitan untuk memilih hasil integral dari fungsi $ \cos x^2 \, $ .
*). Kita gunakan teknik substitusi aljabar terlebih dahulu semoga sudut dari $ \cos x^2 \, $ menjadi pangkat satu dengan memisalkan $ u = x^2 $.
*). Teknik substitusi aljabar :
$ u = x^2 \rightarrow u^\prime = 2x $
$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x^2 dx & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{2x} \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ & = \int x^2 \cos u du \, \, \, \, \, \text{(mengganti } x^2 = u) \\ & = \int u \cos u du \end{align} $
*). Bentuk $ \int u \cos u du \, $ inilah yang kita parsialkan.
Teknik tanjalin :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, u \, \, \, & | \, \, \, \cos u \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \sin u \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\cos u \end{align} $

*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : “turun satu baris”
$ \begin{align} \int u \cos u du & = (+u) \times \sin u + (-1) \times (-\cos u) + c \\ & = u \sin u + \cos u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk }u) \\ & = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int 2x^3 \cos x^2 dx = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c $.