Teknik Integral Substitusi Aljabar

Posted on

         Pondok Soal.com Teknik Integral Substitusi Aljabar biasanya kita gunakan sehabis integral dengan rumus dasar baik “integral fungsi aljabar” inginpun “integral fungsi trigonometri” secara eksklusif tak sanggup menuntaskan soalnya. Meskipun namanya Teknik Integral Substitusi Aljabar, namun teknik ini sanggup kita terapkan ke integral fungsi trigonometri juga.

Konsep Teknik Integral Substitusi Aljabar
       Sesuai namanya, substitusi aljabar, artinya kita akan memisalkan suatu fungsi dengan bentuk aljabar tertentu semoga gampang kita integralkan atau soal integral tersebut sanggup kita selesaikan.
       Misalkan ada bentuk integral $ \int [f(x)]^n g(x) dx \, $ yang sulit eksklusif kita integralkan dengan rumus dasar integral, maka kita substitusikan dengan cara memisalkan adalah :
$ u = f(x) \, , $ sesampai lalu turunan dari $ u $ merupakan
$ u^\prime = \frac{du}{dx} = f^\prime (x) \rightarrow dx = \frac{du}{u^\prime} \, $ atau $ \, dx = \frac{du}{f^\prime (x) } $ .
Sesampai lalu soalnya menjadi :
$ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{u^\prime } \, $ atau
$ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{ f^\prime (x) } $

Catatan :
Teknik substitusi aljabar ini dikatakan berhasil apabila turunan dari $ u \, $ sanggup mencoret fungsi lain yang tak dimisalkan adalah fungsi $ g(x) $.

Contoh soal :
1). Tentukan hasil integral dari : $ \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Untuk mengunakan rumus dasar, bentuk $ 2x (4x^2 + 5)^{15} \, $ harus kita jabarkan menjadi bentuk $ (ax^n + bx^m + …) \, $ , namun akan butuh waktu yang usang untuk menjabarkan pangkat 15, berarti kita gunakan teknik integral.
*). Kita misalkan $ u = 4x^2 + 5 $
sesampai lalu turunannya : $ \frac{du}{dx} = 8x \rightarrow dx = \frac{du}{8x} $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx & = \int 2x (u)^{15} \frac{du}{8x} \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ & = \int (u)^{15} \frac{du}{4} \\ & = \frac{1}{4} \int (u)^{15} du \\ & = \frac{1}{4} . \frac{1}{16} u^{16} + c \\ & = \frac{1}{64} u^{16} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \frac{1}{64} (4x^2 + 5)^{16} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx = \frac{1}{64} (4x^2 + 5)^{16} + c $.

2). Tentukan hasil integral dari : $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x – 5} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = x^2 + 4x – 5 \rightarrow u^\prime = 2x + 4 $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x – 5} dx & = \int (4x + 8) \sqrt{u} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int (4x + 8) \sqrt{u} \frac{du}{2x + 4 } \\ & = \int 2(2x + 4) \sqrt{u} \frac{du}{2x + 4 } \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ & = \int 2 \sqrt{u} du \\ & = 2 \int u^\frac{1}{2} du \\ & = 2 . \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} u^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = 2 . \frac{1}{\frac{3}{2} } u^{\frac{3}{2} } + c \\ & = 2 . \frac{2}{3} u^{1 + \frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{4}{3} u^1 . u^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{4}{3} u . \sqrt{u} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \frac{4}{3} (x^2 + 4x – 5) \sqrt{x^2 + 4x – 5} + c \end{align} $
Bentuk $ \frac{4}{3} (x^2 + 4x – 5) \sqrt{x^2 + 4x – 5} + c = \frac{4}{3} \sqrt{(x^2 + 4x – 5)^3} + c $
Jadi, hasil dari $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x – 5} dx = \frac{4}{3} (x^2 + 4x – 5) \sqrt{x^2 + 4x – 5} + c $.
atau $ \int (4x + 8) \sqrt{x^2 + 4x – 5} dx = \frac{4}{3} \sqrt{(x^2 + 4x – 5)^3} + c $.

Baca Juga:   Teknik Integral Parsial

3). Tentukan hasil integral dari : $ \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 – 2x + 7}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = 3x^2 – 2x + 7 \rightarrow u^\prime = 6x – 2 = 2(3x – 1) $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 – 2x + 7}} dx & = \int \frac{3x-1}{\sqrt{u}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{3x-1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2(3x – 1) } \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ & = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2 } \\ & = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} u^{-\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} } u^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{1}{2} .2 \sqrt{u} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \sqrt{3x^2 – 2x + 7} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 – 2x + 7}} dx = \sqrt{3x^2 – 2x + 7} + c $.

4). Tentukan hasil integral dari : $ \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = \sqrt{x} + 2 \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} \frac{du}{\frac{1}{2\sqrt{x}} } \\ & = \int \frac{5\sqrt{ (u )^3}}{\sqrt{x}} . 2\sqrt{x} du \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ & = \int 10\sqrt{ (u )^3} du \\ & = 10 \int u^\frac{3}{2} du \\ & = 10 . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} u^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ & = 10 . \frac{1}{\frac{5}{2} } u^{\frac{5}{2} } + c \\ & = 10 . \frac{2}{5} \sqrt{u^5} + c \\ & = 4 \sqrt{u^5} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = 4 \sqrt{(\sqrt{x} + 2)^5} + c \, \, \, \, \, \text{(atau)} \\ & = 4 (\sqrt{x} + 2)^2\sqrt{ \sqrt{x} + 2 } + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{5\sqrt{ (\sqrt{x} + 2 )^3}}{\sqrt{x}} dx = 4 \sqrt{(\sqrt{x} + 2)^5} + c $.

5). Tentukan hasil integral dari : $ \int 6x^2 \sin 3x^3 dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = 3x^3 \rightarrow u^\prime = 9x^2 $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int 6x^2 \sin 3x^3 dx & = \int 6x^2 \sin u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 6x^2 \sin u \frac{du}{9x^2} \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ & = \int 2 \sin u \frac{du}{3} \\ & = \frac{2}{3} \int \sin u du \\ & = \frac{2}{3} (-\cos u) + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = -\frac{2}{3} \cos 3x^3 + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int 6x^2 \sin 3x^3 dx = -\frac{2}{3} \cos 3x^3 + c $.

Baca Juga:   Teorema Mendasar Kalkulus Pada Integral

6). Tentukan hasil integral dari : $ \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = \sqrt{x} + 4 \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} \frac{du}{\frac{1}{2\sqrt{x}} } \\ & = \int \frac{\cos u}{\sqrt{x}} 2\sqrt{x} du \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ & = 2\int \cos u du \\ & = 2 \sin u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = 2 \sin (\sqrt{x} + 4) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{\cos (\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}} dx = 2 \sin (\sqrt{x} + 4) + c $.

7). Tentukan hasil integral dari : $ \int \frac{\sec ^2 \left( 2 – \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{2\sqrt{x^3}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Kita misalkan $ u = 2 – \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 – u^{-\frac{1}{2}} \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^3}} $
*). Menenyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{\sec ^2 \left( 2 – \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{2\sqrt{x^3}} dx & = \int \frac{\sec ^2 u}{2\sqrt{x^3}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{\sec ^2 u}{2\sqrt{x^3}} \frac{du}{\frac{1}{2\sqrt{x^3}} } \\ & = \int \frac{\sec ^2 u}{2\sqrt{x^3}} 2\sqrt{x^3} du \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ & = \int \sec ^2 u du \\ & = \tan u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \tan \left( 2 – \frac{1}{\sqrt{x}} \right) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{\sec ^2 \left( 2 – \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{2\sqrt{x^3}} dx = \tan \left( 2 – \frac{1}{\sqrt{x}} \right) + c $.

Rumus umum integral $ \int k(ax+b)^n dx \, $ dengan $ n \neq -1 $
       Dengan teknik integral substitusi maka kita sanggup eksklusif menemukan rumus umum dari :
misalkan : $ u = ax + b \rightarrow u^\prime = a $
$ \begin{align} \int k(ax+b)^n dx & = \int k(ax+b)^n dx \\ & = \int k(u)^n \frac{du}{a} \\ & = \frac{k}{a} \int (u)^n du \\ & = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c \end{align} $

Kita peroleh : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $.
Bentuk rumus ini sangat akan membantu kita terutama pada integral parsial.

Baca Juga:   Pembuktian Rumus Cepat Luas Kawasan Berkaitan Integral

Contoh soal :
8). tentukan integral dari $ \int 4(2x-5)^{31} dx $

Penyelesaian :
$ \begin{align} \int 4(2x-5)^{31} dx & = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+ 1} (ax+b)^{n+1} + c \\ & = \frac{4}{2} . \frac{1}{31+ 1} (2x-5)^{31+1} + c \\ & = 2.\frac{1}{32} (2x-5)^{32} + c \\ & = \frac{1}{16} (2x-5)^{32} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int 4(2x-5)^{31} dx = \frac{1}{16} (2x-5)^{32} + c $ .

9). tentukan integral dari $ \int \sqrt{3x+2} dx $

Penyelesaian :
$ \begin{align} \int \sqrt{3x+2} dx & = \int (3x+2)^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+ 1} (ax+b)^{n+1} + c \\ & = \frac{1}{3} . \frac{1}{ \frac{1}{2}+ 1} (3x+2)^{\frac{1}{2}+1} + c \\ & = \frac{1}{3} . \frac{1}{ \frac{3}{2} } (3x+2)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = \frac{1}{3} . \frac{2}{3} (3x+2)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = \frac{2}{9} (3x+2)^{\frac{3}{2}} + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \sqrt{3x+2} dx = \frac{2}{9} (3x+2)^{\frac{3}{2}} + c $ .

Rumus umum integral $ \int k(ax+b)^n dx \, $ dengan $ n = -1 $
       Dengan teknik integral substitusi maka kita sanggup eksklusif menemukan rumus umum dari :
misalkan : $ u = ax + b \rightarrow u^\prime = a $
$ \begin{align} \int k(ax+b)^{-1} dx & = \int \frac{k}{ax+b} dx \\ & = \int \frac{k}{u} \frac{du}{a} \\ & = \frac{k}{a} \int \frac{1}{u} du \\ & = \frac{k}{a} \ln (u) + c \\ & = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c \end{align} $

Kita peroleh : $ \int k(ax+b)^{-1} dx = \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c $.
Bentuk rumus ini sangat akan membantu kita terutama pada integral membagi pecahan.

Contoh soal :
10). tentukan integral dari $ \int \frac{3}{2x-5} dx $

Penyelesaian :
$ \begin{align} \int \frac{3}{2x-5} dx & = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c \\ & = \frac{3}{2} \ln (2x-5) + c \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \frac{3}{2x-5} dx = \frac{3}{2} \ln (2x-5) + c $ .