Teknik Integral Substitusi Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Teknik integral berikutnya yang akan kita pelajari merupakan Teknik Integral Substitusi Trigonometri. Teknik integral ini kita gunakan biasanya apabila “Teknik Integral Substitusi Aljabar” inginpun “teknik integral parsial” tak sanggup menuntaskan soal integralnya. Teknik Integral Substitusi Trigonometri secara khusus dipakai apabila ada bentuk $ \sqrt{a^2 – b^2x^2}, \, \sqrt{a^2 + b^2x^2} , \, $ dan bentuk $ \sqrt{a^2x^2 – b^2 } $. Untuk lebih terangnya, kita perhatikan penterangannya berikut ini.

Rumus Identitas Trigonometri dan invers trigonometri
*). Identitas Trigonometri :
       Sebenarnya teknik substitusi trigonometri ini tujuannya merupakan untuk mengarahkan soal menjadi bentuk persamaan identitas trigonometri yakni :
$ \sin ^2 t + \cos ^2 t = 1 $.
$ 1 + \tan ^2 t = \sec ^2 t $.
$ 1 + \cot ^2 t = \csc ^2 t $.

*). Invers fungsi trigonometri :
Berikut bentuk inversnya :
Jika $ \sin t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \sin f(x) $
Jika $ \cos t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \cos f(x) $
Jika $ \tan t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \tan f(x) $
Jika $ \cot t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \cot f(x) $
Jika $ \sec t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \sec f(x) $
Jika $ \csc t = f(x) \, , $ maka $ t = arc \csc f(x) $

Contoh invers trigonometri :
1). Tentukan invers dari :
a). $ \sin t = \frac{1}{2} $
b). $ \cos t = 3x $
c). $ \tan t = \frac{x – 2}{5} $

Penyelesaian :
a). $ \sin t = \frac{1}{2} \rightarrow t = arc \sin \frac{1}{2} \rightarrow t = 30^\circ $

b). $ \cos t = 3x \rightarrow t = arc \cos (3x) $

c). $ \tan t = \frac{x – 2}{5} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x – 2}{5} \right) $

Bentuk-bentuk Substitusi Trigonometri
       Berikut bentuk-bentuk substitusi yang akan kita gunakan yakni :
*). Bentuk $ \sqrt{a^2 – b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sin t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \cos t $.
*). Bentuk $ \sqrt{a^2 + b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \tan t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \cot t $.
*). Bentuk $ \sqrt{b^2x^2 – a^2 } , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sec t \, $ atau $ x = \frac{a}{b} \csc t $.

Contoh Soal :
2). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Soal ini akan sulit kita selesaikan dengan substitusi aljabar inginpun teknik parsial, sesampai lalu kita selesaikan dengan teknik substitusi trigonometri.
*). Bentuk $ \sqrt{1-x^2} , \, $ substitusi $ x = \sin t \, $ atau $ \, x = \cos t $.

*). Pertama, kita substitusi dengan $ x = \sin t $.
$ x = \sin t \rightarrow t = arc \sin x $
$ x = \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \cos t \rightarrow dx = \cos t dt $.
$ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-(\sin t) ^2 } = \sqrt{\cos ^2 t } = \cos t $.
Gunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
Serta $ \cos t = \sqrt{1 – \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 – x^2 } $
Kembali ke soalnya, kita mengganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx & = \int \frac{(\sin t)^2}{ \cos t } \cos t dt \\ & = \int (\sin t)^2 dt \\ & = \int \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{1}{2}t – \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t – \frac{1}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t – \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = \frac{1}{2}t – \frac{1}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x – \frac{1}{2} x \sqrt{ 1 – x^2 } + c \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x – \frac{x}{2} \sqrt{ 1 – x^2 } + c \end{align} $
Jadi, karenanya : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{2} arc \sin x – \frac{x}{2} \sqrt{ 1 – x^2 } + c $ .

Baca Juga:   Menentukan Panjang Busur Dengan Integral

*). Kedua, kita substitusi dengan $ x = \cos t $.
$ x = \cos t \rightarrow t = arc \cos x $
$ x = \cos t \rightarrow \frac{dx}{dt} = -\sin t \rightarrow dx = -\sin t dt $.
$ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-(\cos t) ^2 } = \sqrt{\sin ^2 t } = \sin t $.
Gunakan rumus : $ \cos ^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
Serta $ \sin t = \sqrt{1 – \cos ^2 t } = \sqrt{ 1 – x^2 } $
Kembali ke soalnya, kita mengganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx & = \int \frac{(\cos t)^2}{ \sin t } . – \sin t dt \\ & = -\int (\cos t)^2 dt \\ & = – \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = – ( \frac{1}{2}t + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t ) + c \\ & = -\frac{1}{2}t – \frac{1}{4} \sin 2t + c \\ & = -\frac{1}{2}t – \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = -\frac{1}{2}t – \frac{1}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = -\frac{1}{2} arc \cos x – \frac{1}{2} . \sqrt{ 1 – x^2 } . x + c \\ & = -\frac{1}{2} arc \cos x – \frac{x}{2} \sqrt{ 1 – x^2 } + c \end{align} $
Jadi, karenanya : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = – \frac{1}{2} arc \cos x – \frac{x}{2} \sqrt{ 1 – x^2 } + c $ .

Kedua permisalan di atas menawarkan hasil yang berbeda, namun kedua hasil integralnya sama-sama benar. Jika soalnya ada pilihannya (opsinya), maka hanya salah satu saja yang niscaya ada, tak cukup keduanya. Dan apabila soalnya berupa essay, maka karenanya tergantung substitusi trigonometri yang kita pilih, dan keduanya benar.

3). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Bentuknya merupakan $ \sqrt{4-9x^2} = \sqrt{2^2-3^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{2}{3} \sin t $.
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \sin t = \frac{3x}{2} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) $
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \cos t \rightarrow dx = \frac{2}{3} \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{14-9x^2} & = \sqrt{4-9(\frac{2}{3}\sin t) ^2 } = \sqrt{4-9.\frac{4}{9}\sin^2 t } = \sqrt{4-4\sin^2 t } \\ & = \sqrt{4(1 – \sin ^2 t) } = \sqrt{4\cos ^ 2 t } = 2 \cos t \end{align} $.
Gunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
Serta $ \cos t = \sqrt{1 – \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{3x}{2})^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } $
Kembali ke soalnya, kita mengganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx & = \int \frac{(\frac{2}{3} \sin t)^2}{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \int \frac{\frac{4}{9} \sin ^2 t }{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \sin ^2 t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t – \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27}( \frac{1}{2}t – \frac{1}{4} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t – \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t ) + c \\ & = \frac{4}{27} (\frac{1}{2}t – \frac{1}{2} \sin t \cos t ) + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) – \frac{1}{2} \frac{3x}{2} \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } ) + c \\ & = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) – \frac{x}{9} \sqrt{ 1 – x^2 } + c \end{align} $
Jadi, karenanya : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) – \frac{x}{9} \sqrt{ 1 – x^2 } + c $ .

Baca Juga:   Pengertian, Rumus Dasar Dan Sifat-Sifat Integral Tentu

4). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx $ ?

Penyelesaian :
*). Bentuknya merupakan $ 4 + x^2 , \, $ substitusi $ x = 2 \tan t $.
$ x = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) $
$ x = 2 \tan t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.
$ \begin{align} 4 + x^2 & = 4 + (2 \tan t)^2 = 4 + 4 \tan ^2 t = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.
Kembali ke soalnya, kita mengganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{1}{4 + x^2} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $
Jadi, karenanya : $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $ .

5). Tentukan hasil integral $ \int \sqrt{8 + 2x – x^2 } dx $ ?

Penyelesaian :
*). Mengubah fungsi menjadi bentuk kuadrat sempurna,
$ \begin{align} 8 + 2x – x^2 & = 9 – 1 + 2x – x^2 \\ & = 9 – (1 – 2x + x^2) \\ & = 9 – (x-1)^2 \end{align} $
*). Bentuknya merupakan $ 9 – (x-1)^2 , \, $ substitusi $ x – 1 = 3 \sin t $.
$ x – 1 = 3 \sin t \rightarrow \sin t = \frac{x-1}{3} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) $
$ x – 1 = 3 \sin t \rightarrow x = 3\sin t + 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3\cos t \rightarrow dx = 3 \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{8 + 2x – x^2 }& = c = \sqrt{9 – (3\sin t)^2 } = \sqrt{9 – 9\sin^2 t } \\ & = \sqrt{9(1 – \sin ^2 t) } = \sqrt{9\cos ^ 2 t } = 3 \cos t \end{align} $.
Gunakan rumus : $ \cos ^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
Serta $ \cos t = \sqrt{1 – \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{x-1}{3} )^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } $
Kembali ke soalnya, kita mengganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \sqrt{8 + 2x – x^2 } dx & = \int \sqrt{9 – (3\sin t)^2 } dx \\ & = \int 3 \cos t . 3 \cos t dt \\ & = 9 \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = 9 ( \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} . 2\sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{2} \sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{9}{2} . \frac{x-1}{3} . \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \end{align} $
Jadi, karenanya : $ \int \sqrt{8 + 2x – x^2 } dx = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c $ .

Baca Juga:   Teknik Integral Membagi Pecahan

6). Tentukan hasil integral $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx $ ?

Penyelesaian :
*). Mengubah fungsi menjadi bentuk kuadrat sempurna,
$ \begin{align} x^2 + 2x + 5 & = (x^2 + 2x + 1 ) + 4 \\ & = (x+1)^2 + 4 \end{align} $
*). Bentuknya merupakan $ (x+1)^2 + 4 , \, $ substitusi $ x + 1 = 2 \tan t $.
$ x + 1 = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x+1}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) $
$ x + 1= 2 \tan t \rightarrow x = 2\tan t – 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.
$ \begin{align} (x+1)^2 + 4 & = (2\tan t)^2 + 4 = 4\tan ^2 t + 4 = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.
Kembali ke soalnya, kita mengganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{1}{(x+1)^2 + 4} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+ 1}{2} \right) + c \end{align} $
Jadi, karenanya : $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) + c $ .