Transformasi Geometri Luas Bangkit Datar

Posted on

         Pondok Soal.com – Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan kembali membahas artikel yang terkait dengan “Transformasi geometri” yaitu dengan jugul Transformasi Geometri Luas Bangun datar. Materi terkait Transformasi Geometri Luas Bangun datar ini perlu kita bahas alasannya ialah baik di ujian tingkat sekolah ibarat ulangan harian, ulangan semesteran atau ujian nasional, serta tingkat seleksi masuk sekolah tinggi tinggi juga kerap dikeluarkan soal-soalnya.

         Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Transformasi Geometri Luas Bangun datar ini, silahkan teman-teman kuasai terlebih dahulu transformasi secara umum dan jenis-jenis transformasi (seperti translasi, dilatasi, rotasi, dan refleksi), serta komposisi transformasi. Selain itu juga teman-teman harus menguasai operasi pada matriks terutama persobat semua.

         Transformasi geometri pada titik dan pada “persamaan kurva“, kita harus mengerjakan semua jenis transformasi yang disediakan pada soal. Nah, apakah pada Transformasi Geometri Luas Bangun datar perlu kita lakukan hal yang sama yaitu mengerjakan semua jenis transformasi yang disediakan oleh soal? jawabannya tak, alasannya ialah menurut sifat-sifat masing-masing jenis transformasi hanya dilatasi yang mengakibatkan perubahan luas suatu bangaun datar. Artinya kita tak perlu menghitung semua, cukup kerjakan yang dilatasi saja. Sebagai gambaran perhatikan gambar Transformasi Geometri Luas Bangun datar segitiga ABC berikut.

         Perlu diperhatikan, apabila titik pada bangkit datar saja yang ditransformasi, maka Transformasi Geometri Luas Bangun datar harus melibatkan semua jenis transformasi yang ada pada soal alasannya ialah bukan luas bayangan yang kita cari akan tenamun bayangan dari titik-titik sudutnya sesampai kemudian ini termasuk transformasi titik bukan luas.

Transformasi Geometri Luas Bangun datar
       Langkah-langkah dalam mengerjakan Transformasi Geometri Luas Bangun datar yaitu :
1). Jika yang ditanyakan luas bayangannya, maka cukup kerjakan yang ada dilatasinya saja. Jika pada soal tak ada dilatasinya, maka luas bayangannya sama dengan luas awalnya.
2). Jika pada soal pribadi diketahui matriks transformasinya (bukan translasi atau rotasi atau refleksi), maka wajib kita hitung luas bayangannya memakai matriks tersebut digabungkan dengan dilatasi apabila ada.
3). Jika yang ditanyakan bayangan dari titik-titik sudutnya, maka semua jenis transformasi yang ada pada soal kita kerjakan.

$\spadesuit $ Cara menghitung luas bayangan :
       Luas bayangan = $|MT| \times $ Luas awal.
dimana $ |MT| = \, $ determinan matriksnya.

Cara Menghitung Luas Segitiga
$\spadesuit $ Luas Segitiga ABC
       Misalkan segitiga ABC dengan koordinatnya $A(a_1,a_2) , B(b_1,b_2) $ dan $ C(c_1,c_2)$, Luasnya :
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2)-(b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2)] $

Catatan :
Bentuk penghitungan luas ibarat di atas ibarat determinan pada matriks dengan mengulang titik yang paling kiri diletakkan kembali di paling kanan. Untuk lebih mendalam wacana cara menghitung luas bangkit datar yang diketahui koordinatnya, silahkan baca artikel “Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya“.

Contoh Soal Transformasi Geometri Luas Bangun datar :

1). Segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudutnya yaitu $A(-1,2) , B(2,3) $ dan $ C(1,5) $ ditransformasi oleh matriks $ \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). bayangan titik-titik sudut segitiga ABC,
b). luas bayangan segitiga ABC.

Baca Juga:   Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang

Penyelesaian :
a). Menentukan bayangan titik-titik sudutnya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} A & B & C \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 16 & 22 \end{matrix} \right) \end{align} $
Makara bayangan titik sudutnya merupakan :
$ A^\prime (-5,6), \, B^\prime (3,16), $ dan $ (-2, 22) $.

b). Menentukan luas bayangan segitga ABC dengan bayangan titik-titik sudutnya sudah kita peroleh di bab (a) di atas.
Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -5 & 3 & -2 & -5 \\ 6 & 16 & 22 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-5.16+3.22+-2.6)-(3.6+-2.16+-5.22)] \\ & = \frac{1}{2} [(-80+66-12)-(18-32-110)] \\ & = \frac{1}{2} [(-26)-(-124)] \\ & = \frac{1}{2} [98] = 49 \end{align} $
Jadi, luas bayangannya merupakan 49 satuan luas$. \, \heartsuit $

Cara 2 : bab (b),
*). Luas awal segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-3 + 10 +2)-(4 + 3 -5)] \\ & = \frac{1}{2} [7] = \frac{7}{2} \end{align} $
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right| \times \frac{7}{2} \\ & = (3.4-(2.(-1)) \times \frac{7}{2} \\ & = 14 \times \frac{7}{2} = 49 \end{align} $

2). Segitiga ABC dengan koordinat $A(1,2), B(3,-1), $ dan $ C(4,1) $ ditranslasi $ \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) $, kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X, sesudah itu didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik sentra $(-1,3)$, sesudah itu dilanjutkan lagi dengan rotasi sejauh $ 90^\circ $ belawanan jarum jam dengan titik sentra $(2,1) $. Tentukan luas bayangan segitiga ABC!

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan bayangan titik segitiganya
*). Pertama : Translasi ,
$ \left( \begin{matrix} A^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} B^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} C^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). Kedua : Pencerminan sumbu X, MT $ = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). Ketiga: dilatasi, MT $ = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ dengan $(a,b)=(-1,3)$
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 – (-1) \\ -1 – 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 7 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 14 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 13 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 8 – (-1) \\ 2 – 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 18 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 17 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 – (-1) \\ 0 – 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 10 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 20 \\ -6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 19 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Keempat: rotasi, MT $ = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $ dengan $(a,b)=(2,1)$
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 13 – 2 \\ -5 – 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 11 \\ -6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 \\ 11 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ 12 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 17 – 2 \\ 1 – 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 15 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 15 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 16 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 19 – 2 \\ -3 – 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 17 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 17 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 18 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Koordinat bayangan titik-titik sudut segitiga merupakan :
$A^{\prime \prime \prime \prime}(8,12), B^{\prime \prime \prime \prime}(2,16) $ dan $ C^{\prime \prime \prime \prime}(6, 18 )$.
*). Menentukan luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 2 & 6 & 8 \\ 12 & 16 & 18 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(128 + 36 + 72)-(24 + 96 + 144)] \\ & = \frac{1}{2} [-28] = -14 = 14 \end{align} $
(Luasan selalu bernilai positif).
Jadi, luas bayangannya merupakan 14 satuan luas$. \, \heartsuit $

Baca Juga:   Dilatasi Pada Transformasi Geometri

Cara 2 : Hanya memperhatikan bentuk dilatasi saja.
*). Pada dilatasi, berapapun titik pusatnya tak kuat pada luas, artinya luas hanya ditentukan oleh faktor skala saja.
*). Luas awal segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-1 + 3 + 8)-(6 – 4 + 1)] \\ & = \frac{1}{2} [7] = \frac{7}{2} \end{align} $
*). Luas bayangannya : dilatasi dengan $ k = 2 $
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| \times \frac{7}{2} \\ & = (2.2-0.0) \times \frac{7}{2} \\ & = 4 \times \frac{7}{2} = 14 \end{align} $
Jadi, luas bayangannya merupakan 14 satuan luas, sama dengan cara I.

3). Lingkaran dengan persamaan $(x-1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $ dirotasi sejauh $ 135^\circ $ searah jarum jam, kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = x + 6 $, sesudah itu dilanjutkan dengan translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 12 \\ -10 \end{matrix} \right) $ . Tentukan luas bayangan bulat tersebut!

Penyelesaian :
*). Luas akan berubah apabila dilakukan dilatasi pada bulat tersebut.
*). Karena tak ada dilatasi, maka luas bayangan tetap yaitu sama dengan luas awal.
*). Lingkaran $ (x-1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $ terdapat $ r = \sqrt{5} $.
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \text{Luas awal} \\ & = \pi r^2 \\ & = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya merupakan $ 5\pi $ satuan luas $. \, \heartsuit $

4). Sebuah segiempat ABCD terdapat koordinat A(1,2), B(2,5), C(3, 7) dan D(5,4) dilakukan transformasi yaitu pertama didilatasi dengan faktor skala 3 dan titik sentra $(-1,2)$, dilanjutkan dengan rotasi sejauh $ 180^\circ $ dengan sentra $(0,0)$, dilanjutkan kembali translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $. Tentukan perbandingan luas bayangan dan luas awalnya!

Baca Juga:   Komposisi Transformasi Dengan Matriks

Penyelesaian :
*). Pada soal ini, yang kuat hanya dilatasi dengan $ k = 3 $, sesampai kemudian :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ \frac{\text{Luas bayangan } }{\text{Luas awal } } & = |MT| \\ & = \left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = 3.3 – 0.0 \\ & = 9 = \frac{9}{1} \end{align} $
Jadi, perbandingan luas bayangan dan luas awalnya merupakan $ 9 : 1 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Transformasi Geometri Luas Bangun datar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri.