Translasi Pada Transformasi Geometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah membahas materi “Matriks Transformasi Geometri” pada artikel sebelumnya, kita lanjutkan dengan pembahasan jenis-jenis transformasi geometri yang pertama ialah translasi atau pergeseran dengan artikel berjudul Translasi pada Transformasi Geometri. Translasi terdapat makna pergeseran atau perpindahan. Contoh penggunaan translasi dalam kehidupan ialah posisi duduk siswa di kelas yang berpindah setiap periode tertentu, permainan catur, gerakan pada paskibraka, dan lain-lainnya.

         Translasi pada transformasi geometri merupakan perpindahan dengan cara menggeser suatu benda (biasanya berupa titik, kurva, berdiri datar, dan lainnya) berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan, kita ingin memindahkan suatu titik dari posisi A ke posisi B, terjadi pergeseran sejauh $ a $ satuan arah horizontal dan sejauh $ b $ satuan arah vertikal. Sesampai lalu mastriks transformasi untuk jenis translasi sanggup kita tuliskan : $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ .

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Translasi pada Transformasi Geometri ini, kita harus menguasai materi matriks terlebih dahulu khususnya “operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks“. Untuk penterangan cara penghitungan pada translasi, mari kita baca eksklusif pembahasannya berikut ini.

Cara Penghitungan pada Translasi dan Sifat-sifat Translasi
       Misalkan sembarang titik $A(x,y) $ ditranslasikan oleh matriks translasi $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $, maka kita peroleh bayangannya ialah $ A^\prime (x^\prime , y^\prime ) $, sanggup kita tuliskan : $ A(x,y) \overset{T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) }{ \huge \longrightarrow} A^\prime (x^\prime, y^\prime ) $

$\clubsuit $ Cara Penghitungannya :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Sesampai lalu jikalau kita operasikan menjadi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) $

$ \spadesuit $ Sifat-sifat Translasi
       Berikut sedikit sifat pada translasi ialah :
(i). Bangun yang digeser (ditranslasikan) tak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
(ii). Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.

Contoh Soal Translasi pada transformasi geometri :

1). Tentukan bayangan titik A(2,-5) apabila ditranslasikan oleh matriks $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik A(2,-5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1) \\ -5 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (1,-2). \, \heartsuit $

2). Suatu benda terletak pada posisi dengan koordinat ($-3,1$), lalu benda tersebut bergerak kearah bawah secara vertikal sejauh 2 satuan dan dilanjutkan ke arah kanan secara horizontal sejauh 4 satuan. Tentukan koordinat posisi simpulan dari benda tersebut!

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks translasinya
benda bergerak :
horizontal ke kanan (4 satuan) $ \rightarrow a = 4 $
vertikal ke bawah (2 satuan) $ \rightarrow b = -2 $
Matriks translasinya : $ T = \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) $
Catatan :
arah kanan dan atas bernilai positif,
arah kiri dan bawah bernilai negatif,
*). Menenetukan posisi simpulan sama saja dengan memilih bayangannya sehabis ditanslasi.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 + 4 \\ 1 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, posisi titik simpulan benda tersebut merupakan $ ( 1,-1). \, \heartsuit $

Baca Juga:   Refleksi Atau Pencerminan Pada Transformasi

3). Translasi $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ memetakan titik $A(7, – 1) $ ke $ A^\prime (2, -3 )$.
a). Tentukan matriks translasinya,
b). Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1,3), B(-4,2), dan C(-1,-5) oleh translasi tersebut,
c). Tentukan Luas bayangan segitiganya.

Penyelesaian :
a). Menentukan matriks translasinya :
titik awal : A(7,-1)
bayangannya : $ A^\prime (2,-3) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 7 \\ -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 – 7 \\ -3 – (-1) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks translasinya merupakan $ T = \left( \begin{matrix} -5 \\ -2 \end{matrix} \right) $

b). Menentukan bayangan segitiga dengan
titik A(1,3),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 + (-5) \\ 3 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
titik B(-4,2),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 + (-5) \\ 2 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -9 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
titik C(-1,-5),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + (-5) \\ -5 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -6 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan dari segitiga ABC merupakan $A^\prime (-4,1), \, B^\prime (-9,0), \, $ dan $ C^\prime (-6,-7) $.

c). Sesuai dengan sifat (i) pada Translasi di atas, maka bentuk dan ukuran segitiganya tak berubah, sesampai lalu luas bayangannya sama saja dengan luas segitiga awalnya. Mari kita cek kebenarannya dengan menghitung luas awal dan luas bayangannya.
*). Luas awal segitiga ABC dengan titik sudut A(1,3), B(-4,2), dan C(-1,-5) :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -4 & -1 & 1 \\ & 3 & 2 & -5 & 3 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[(1.2 + (-4).(-5) + (-1).3 ) – ((-4).3 + (-1).2+1.(-5))] \\ & = \frac{1}{2}[(2 + 20 + (-3) ) – ((-12) + (-2) + (-5))] \\ & = \frac{1}{2}[(19 ) – (-19)] \\ & = \frac{1}{2}[38] \\ & = 19 \end{align} $
sesampai lalu luas segitiga awal merupakan 19 satuan luas.
*). Luas bayangan segitiga ABC dengan titik sudut $A^\prime (-4,1), \, B^\prime (-9,0), \, $ dan $ C^\prime (-6,-7) $
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & -4 & -9 & -6 & -4 \\ & 1 & 0 & -7 & 1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[((-4).0 + (-9).(-7)+(-6).1 ) – ((-9).1+(-6).0+(-4).(-7))] \\ & = \frac{1}{2}[(0 + 63 + (-6) ) – ((-9)+0+28)] \\ & = \frac{1}{2}[( 57 ) – (19)] \\ & = \frac{1}{2}[38] \\ & = 19 \end{align} $
sesampai lalu luas bayangan segitiga merupakan 19 satuan luas.
Jadi, sanggup disimpulkan benar bahwa luas bayangannya sama dengan luas awal saat kita lakukan translasi sesuai dengan sifat (i).

Baca Juga:   Komposisi Transformasi Pada Dilatasi

4). Tentukan bayangan kurva parabola $ y = x^2 – 5x + 1 $ apabila ditranslasikan oleh $ T = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) $!

Penyelesaian :
*). Karena persamaan atau fungsi ditransformasi, maka yang kita transformasikan merupakan titik $(x,y)$, sehabis itu kita ubah menjadi dalam bentuk $x^\prime $ dan $ y^\prime $.
*). Proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime – (-4) \\ y^\prime – 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime + 4 \\ y^\prime – 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime + 4 \, $ dan $ y = y^\prime – 1 $.
bentuk inilah yang akan kita substitusikan ke persamaan kurva awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya.
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime + 4 \, $ dan $ y = y^\prime – 1 $ ke persamaan awal
$ \begin{align} y & = x^2 – 5x + 1 \\ y^\prime – 1 & = (x^\prime + 4)^2 – 5(x^\prime + 4) + 1 \\ y^\prime – 1 & = {x^\prime}^2 + 8 x^\prime + 16 – 5x^\prime -20 + 1 \\ y^\prime – 1 & = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime – 3 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime – 2 \end{align} $
Sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya ialah $ y^\prime = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime – 2 $
Jadi, persamaan bayagannya merupakan $ y = x^2 + 3x – 2 . \, \heartsuit $

5). Persamaan garis $ 2x + 3y = 5 $ ditranslasi oleh $ T = \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) $ sesampai lalu menghasilkan bayangan $ 2x + 3y = 9 $. Tentukan matriks translasinya!

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui :
persamaan awal : $ 2x + 3y = 5 $
persamaan bayangannya : $ 2x + 3y = 9 $ atau $ 2x^\prime + 3y^\prime = 9 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + 2 $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + 2 $ ke persamaan bayangannya sesampai lalu kita peroleh persamaan awal (bentuknya sama dengan persamaan awal).
$ \begin{align} 2x^\prime + 3y^\prime & = 9 \\ 2(x+a) + 3(y + 2) & = 9 \\ 2x + 2a + 3y + 6 & = 9 \\ 2x + 3y & = 9 – 6 – 2a \\ 2x + 3y & = 3 – 2a \end{align} $
kita peroleh persamaan awal ialah $ 2x + 3y = 3 – 2a $ yang bentuknya sama dengan $ 2x + 3y = 5 $, sesampai lalu haruslah :
$ 3 – 2a = 5 \rightarrow -2a = 2 \rightarrow a = -1 $.
*). Matriks translasinya merupakan $ T = \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
Jadi, matriksnya merupakan $ T = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

6). Fungsi kuadrat $ y = 2x^2 – x + 1 $ ditranslasikan oleh matriks $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $, sesampai lalu menghasilkan bayangan $ y = 2x^2 – 5x + 3 $. Tentukan nilai $ 2a + 3b $?

Penyelesaian :
*). Untuk memilih nilai $ 2a + 3b$, kita harus memilih matriks translasinya terlebih dahulu.
*). pada soal diketahui :
Persamaan awal : $ y = 2x^2 – x + 1 $
persamaan bayangannya : $ y = 2x^2 – 5x + 3 $ atau $ y^\prime = 2{x^\prime} ^2 – 5x^\prime + 3 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + b $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + b $ ke persamaan bayangannya sesampai lalu kita peroleh persamaan awal (bentuknya sama dengan persamaan awal).
$ \begin{align} y^\prime & = 2{x^\prime} ^2 – 5x^\prime + 3 \\ ( y + b) & = 2( x + a) ^2 – 5( x + a) + 3 \\ ( y + b) & = 2( x^2 + 2ax + a^2) – 5x – 5 a + 3 \\ ( y + b) & = 2x^2 + 4ax + 2a^2 – 5x – 5 a + 3 \\ y & = 2x^2 + (4a – 5)x + (2a^2 – 5 a + 3 – b ) \end{align} $
kita peroleh persamaan awal ialah $ y = 2x^2 + (4a – 5)x + (2a^2 – 5 a + 3 – b ) $ yang bentuknya sama dengan $ y = 2x^2 – x + 1 $, sesampai lalu haruslah :
Pertama koefisien $ x $ sama ialah :
$ 4a – 5 = -1 \rightarrow 4a = 4 \rightarrow a = 1 $.
Kedua, konstantanya sama :
$ \begin{align} (2a^2 – 5 a + 3 – b ) & = 1 \\ (2.1^2 – 5.1 + 3 – b ) & = 1 \\ (2 – 5 + 3 – b ) & = 1 \\ – b & = 1 \\ b & = -1 \end{align} $
Sesampai lalu matriks translasinya merupakan $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ 2a + 3b $ :
$ 2a + 3b = 2.1 + 3.(-1) = 2 + (-3) = -1 $.
Jadi, nilai $ 2a + 3b = -1 . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Transformasi Geometri Secara Umum

7). Matriks translasi $ T = \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \end{matrix} \right) $ mentranslasikan persamaan $ x^2 + y^2 + 3xy + 1 = 0 $ menjadi $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $. Tentukan nilai $ p + q + r $?

Penyelesaian :
*). diketahui :
persamaan awal : $ x^2 + y^2 + 3xy + 1 = 0 $
persamaan bayangannya : $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime – 2 \\ y^\prime + 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime – 2 $ dan $ y = y^\prime + 2 $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x = x^\prime – 2 $ dan $ y = y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya (bentuknya sama dengan persamaan bayangan yang diketahui pada soal).
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 3xy + 1 & = 0 \\ (x^\prime – 2)^2 + (y^\prime + 2)^2 + 3(x^\prime – 2)(y^\prime + 2) + 1 & = 0 \\ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 3x^\prime y^\prime + 2x^\prime – 2y^\prime – 3 & = 0 \, \, \, \, \text{ (atau)} \\ x^2 + y^2 + 3xy + 2x – 2y – 3 & = 0 \end{align} $
kita peroleh persamaan bayangan ialah $ x^2 + y^2 + 3xy + 2x – 2y – 3 = 0 $ yang bentuknya sama dengan $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $, sesampai lalu haruslah :
$ 2p = 2 \rightarrow p = 1 $
$ (p-q) = -2 \rightarrow 1 – q = – 2 \rightarrow q = 3 $
$ r = -3 $.
*). Menentukan hasil $ p + q + r $ :
$ p + q + r = 1 + 3 + (-3) = 1 $.
Jadi, nilai $ p + q + r = 1 . \, \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Translasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Dilatasi pada Transformasi Geometri.