Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah pelajari “Definisi Turunan Fungsi Secara Umum“, dimana untuk memilih turunan suatu fungsi $ f(x) \, $ yang disimbolkan $ \, f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime \, $ sanggup memakai definisi turunannya yakni :
Namun untuk menuntaskan limit fungsinya khususnya fungsi aljabarnya kita tak perlu memakai definisi turunan secara umum, lantaran akan rumit dan lebih usang dalam penyelesaiannya. Nah untuk mempermudah, kali ini kita akan membahas khusus Turunan Fungsi Aljabar. Pada bahan turunan fungsi aljabar ini kita akan eksklusif memakai rumus dasarnya, tentu rumus-rumus dasar ini kita peroleh dari definisi turunan secara umum untuk pembuktiannya.
i). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ k \, $ merupakan konstanta dan setiap kostanta turunannya merupakan nol.
ii). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimanan $ n \, $ merupakan bilangan real.
iii). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
iv). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
v). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V – U. V^\prime}{V^2} $
dimana $ U \, $ dan $ V \, $ merupakan dua buah fungsi yang berbeda.
vi). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
vii). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
Catatan :
*). Untuk pembuktian keenam rumus dasar turunan fungsi aljabar dari rumus i hingga v, sanggup kita lihat pembuktiannya sesudah contoh-contoh soalnya.
*). Sedangkan pembuktian rumus dasar vi dan vii, kita memakai hukum rantai yang sanggup kita baca pada artikel “aturan rantai turunan fungsi”.
Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut :
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $
Penyelesaian :
a). Turunan konstanta merupakan nol (rumus dasar i).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar ii) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} = (-2). 5. x^{(-2) – 1} = -10x^{-3} = \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar ii, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} – 1} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} – 1 } = – x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} – 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $
2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 – 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 – 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 – 3x + 1 $
Penyelesaian :
*). Untuk memilih turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar iii. Rumus dasar iii itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 – 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya merupakan :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime – V^\prime = 6x – 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 – 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 – 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} – 1 } + 3.5.x^{3-1} – 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 – 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} – 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 – 3 $
3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar iv). Sebenarnya setiap fungsi sanggup dikalikan terlebih dahulu lalu diturunkan memakai rumus dasar iii dan ii.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x – 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sesampai lalu turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 – 6x^2 – 1 ) \\ & = 10x^4 – 3x^2 – 1 \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = 10x^4 – 3x^2 – 1 $
4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x – 5} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar v).
Misalkan :
Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x – 5 \rightarrow V^\prime = 3 – 0 = 3 $
Sesampai lalu turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V – U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x – 5) – (x^2 + 2). 3}{(3x – 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 – 10x – 3x^2 – 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 – 10x – 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = \frac{3x^2 – 10x – 6}{9x^2 -30x + 25} $
5). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = (2x^2 – 3x + 8)^{10} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = 2x^2 – 3x + 8 \rightarrow g^\prime (x) = 4x – 3 $
Sesampai lalu turunannya :
$ \begin{align} y & = [g(x)]^n = (2x^2 – 3x + 8)^{10} \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = 10.(2x^2 – 3x + 8)^{10-1} . (4x – 3) \\ & = 10.(4x – 3) . (2x^2 – 3x + 8)^{10-1} \\ & = (40x – 30) (2x^2 – 3x + 8)^9 \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = (40x – 30) (2x^2 – 3x + 8)^9 $
6). Diketahui fungsi $ f(2x – 1) = 3x^2 + 2x + 5 \, , $ tentukan nilai $ f^\prime (3) $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vii.
Misalkan : $ g(x) = 2x – 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2 – 0 = 2 $
Sesampai lalu :
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = f[2x-1] \rightarrow y^\prime = f^\prime [ 2x-1] . 2 $
$ y = f(2x-1) \rightarrow y^\prime = 2f^\prime [ 2x-1] $
*). Kedua ruas fungsi kita turunkan dari fungsi $ f(2x – 1) = 3x^2 + 2x + 5 $
$ \begin{align} f(2x – 1) & = 3x^2 + 2x + 5 \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2f^\prime (2x – 1) & = 6x + 2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f^\prime (2x – 1) & = 3x + 1 \end{align} $
*). Agar diperoleh nilai $ f^\prime (3) \, $ maka bentuk $ f^\prime (2x – 1) = f^\prime (3) \, $
artinya $ 2x-1 = 3 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
*). Substitusi nilai $ x = 2 \, $ ke bentuk turunannya :
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow f^\prime (2x – 1) & = 3x + 1 \\ f^\prime (2.2 – 1) & = 3.2 + 1 \\ f^\prime (4 – 1) & = 6 + 1 \\ f^\prime (3) & = 7 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ f^\prime (3) = 7 $ .
7). Tentukan nilai $ f^\prime (1) \, $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ y = x^5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 – 7 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x – 5} $
e). $ y = (2x^2 – 3x + 8)^{10} $
Penyelesaian :
*). Turunan dari setiap fungsi sudah ada pada soal-soal sebelumnya. nilai $ f^\prime (1) \, $ artinya $ f^\prime (x) \, $ untuk $ x = 1 $ .
a). $ y = x^5 \rightarrow f^\prime (x) = 5x^4 $
Sesampai lalu : $ f^\prime (1) = 5.1^4 = 5. 1 = 5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 – 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
Sesampai lalu $ f^\prime (1) = \frac{1}{\sqrt{1} } + 15.1^2 = 1 + 15 = 16 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
$ f^\prime (x) = 10x^4 – 3x^2 – 1 $
Sesampai lalu : $ f^\prime (1) = 10.1^4 – 3.1^2 – 1 = 10 – 3 – 1 = 6 $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x – 5} $
$ f^\prime (x) = \frac{3x^2 – 10x – 6}{9x^2 -30x + 25} $
Sesampai lalu : $ f^\prime (1) = \frac{3.1^2 – 10.1 – 6}{9.1^2 -30.1 + 25} = \frac{3 – 10 – 6}{9 – 30 + 25} = \frac{-13}{4} $
e). $ y = (2x^2 – 3x + 8)^{10} $
$ f^\prime (x) = (40x – 30) (2x^2 – 3x + 8)^9 $
Sesampai lalu :
$ f^\prime (1) = (40.1 – 30) (2.1^2 – 3.1 + 8)^9 = (40 – 30).(2 – 3 + 8)^9 = 10. (7)^9 = 10.7^9 $
8). Diketahui fungsi $ f(x) \, $ berikut,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 & , \text{ untuk } x < 1 \\ ax+b & , \text{ untuk } x \geq 1 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a $ dan $ b $ biar fungsi $ f(x) \, $ memiliki turunan di $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi di atas, kita peroleh :
sebelah kiri 1 berlaku $ f(x) = x^2 \, $ dan sebelah kanan 1 berlaku $ f(x) = ax+b $ .
*). Syarat fungsi $ f(x) \, $ memiliki turunan di $ x = 1 \, $ syaratnya fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 1 $ .
Syarat kontinu di $ x = 1 \, $ merupakan $ \, \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = f(1) $
Khususnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) = f(1) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) & = f(1) \\ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } x^2 & = a.1 + b \\ 1^2 & = a + b \\ a + b & = 1 \, \, \, \, \, \text{…pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari kiri dan kanan $ x = 1 $ ,
Untuk $ x = 1^- \rightarrow f(x) = x^2 \rightarrow f^\prime (x) = 2x \rightarrow f^\prime (1^-) = 2.1 = 2 $
Untuk $ x = 1^+ \rightarrow f(x) = ax + b \rightarrow f^\prime (x) = a \rightarrow f^\prime (1^+) = a $
*). Agar fungsi memiliki turunan di $ x = 1 \, $ , maka haruslah $ f^\prime (1^+) = f^\prime (1^-) $
$ \begin{align} f^\prime (1^+) & = f^\prime (1^-) \\ a & = 2 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 2 \, $ ke pers(i) :
$ a + b = 1 \rightarrow 2 + b = 1 \rightarrow b = 1 – 2 = -1 $
Jadi, nilai $ a = 2 \, $ dan $ b = -1 $ .
9). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} \, $ dan $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
Sesampai lalu bentuk : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sesampai lalu turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{-\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x^3 + 2x -1 }} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} $
Cara II :
Untuk turunan dalam bentuk akar, kita eksklusif memakai :
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
Turunan : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $
Misalkan : $ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \\ y & = \sqrt{g(x)} \\ y^\prime & = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} \\ y^\prime & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1}} \end{align} $
10). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a^m} = a^\frac{m}{2} \, $
Sesampai lalu bentuk : $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sesampai lalu turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{3}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}. \sqrt{x^3 + 2x – 1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x – 1} \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x – 1} $
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \, \, $ apabila limitnya ada.
Dibawah ini merupakan pembuktian rumus dasar dari rumus i hingga v.
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = k \rightarrow f(x) = k $
$ f(x+h) = k $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ k – k}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ 0}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = k \rightarrow f^\prime (x) = 0 $
>
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
*). Bentuk Binomial Newton:
$ (x + h)^n = x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + …+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n $
*). Kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!r!} $
Sesampai lalu : $ C_1^n = \frac{n!}{(n-1)!.1!} = \frac{n.n(n-1)!}{(n-1)!} = n $
Dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)….3.2.1 \, $ . Misalkan : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = ax^n \rightarrow f(x) = ax^n $
$ f(x+h) = a(x+h)^n = a(x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + …+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n) $
$ f(x+h) = ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + …+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ (ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + …+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n) – ax^n}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + …+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}h^1 + …+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-2} + ah^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}.0 + …+ aC_{n-1}^n x^{n}.0^{n-2} + a.0^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + 0 + …+ 0 + 0 \\ & = aC_1^n x^{n-1} \\ & = an x^{n-1} \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = ax^n \rightarrow f^\prime (x) = n.a.x^{n-1} = nax^{n-1} $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
Pertama : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) + V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) + V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) + V(x+h)] – [U(hx) + V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – U(x) + V(x+h) – V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – U(x) }{h} + \frac{ V(x+h) – V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) – V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) + V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
Kedua : $ f(x) = U(x) – V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) – V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) – V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) – V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) – V(x+h)] – [U(x) – V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – V(x+h) – U(x) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – U(x) – V(x+h) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – U(x) – [V(x+h) – V(x) ]}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – U(x) }{h} – \frac{ V(x+h) – V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – U(x) }{h} – \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) – V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) – V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) – V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) – V^\prime (x) $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = U.V \rightarrow f(x) = U(x).V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h).V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) – U(x).V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) – U(x).V(x) + [U(x+h).V(x) – U(x+h).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [ U(x+h).V(x+h) – U(x+h).V(x) ] + [ U(x+h).V(x) – U(x).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) – V(x) ] + V(x) [ U(x+h) – U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) – V(x) ] }{h} + \frac{ V(x) [ U(x+h) – U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) – V(x) ] }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x) [ U(x+h) – U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) – V(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) – U(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) – U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) – V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) – U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x+h) – V(x) }{h} \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x+0) . V^\prime (x) \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x) . V^\prime (x) \\ & = U^\prime (x) . V(x) + U(x) . V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V – U. V^\prime}{V^2} $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow f(x) = \frac{U(x)}{V(x)} $
$ f(x+h) = \frac{U(x+h)}{V(x+h)} $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{U(x+h)}{V(x+h)} – \frac{U(x)}{V(x)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x).U(x+h) – U(x). V(x+h) }{V(x).V(x+h)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) – U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) + [ – V(x).U(x) + U(x).V(x) ] – U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [V(x).U(x+h) – V(x).U(x) ] + [ U(x).V(x) – U(x). V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x)[U(x+h) – U(x) ] + U(x)[ V(x) – V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x)[U(x+h) – U(x) ]}{h} – \frac{U(x)[ V(x+h) – V(x) ]}{h} }{V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x)[U(x+h) – U(x) ]}{h} – \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{U(x)[ V(x+h) – V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[U(x+h) – U(x) ]}{h} – \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[ V(x+h) – V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ V(x) U^\prime (x) – U(x) V^\prime (x) }{ V(x).V(x+0) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) – U(x) . V^\prime (x) }{ V(x).V(x) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) – U(x) . V^\prime (x) }{ [V(x)]^2 } \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V – U. V^\prime}{V^2} $
