Turunan Fungsi Logaritma Dan Eksponen

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada bahan sebelumnya kita telah mempelajari “Turunan Fungsi Aljabar” dan “Turunan Fungsi Trigonometri“. Untuk artikel kali ini kita akan membahas Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen yang tentunya akan lebih menarik. Dalam memilih turunan fungsi logaritma dan eksponen , kita membutuhkan juga bahan “Limit Tak Hingga Fungsi Khusus“, “Aturan Rantai Turunan Fungsi“, dan “definisi serta sifat-sifat logaritma” dalam pembuktiannya.

Turunan Fungsi Logaritma
       Fungsi logaritma paling mudah berbentuk $ y = {}^a \log x \, $ dengan basis $ \, a \, $ dan numerusnya $ \, x . \, $ Berikut turunan fungsi logaritma dari bentuk fungsi logaritma yang paling mudah :
i). $ y = {}^a \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^a \log e $
ii). $ y = {}^a \log g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e $

dengan $ e=2,7182818….. \, $ ($e = \, $ bilangan euler)

Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi logaritma berikut,
a). $ y = {}^2 \log x $
b). $ y = {}^2 \log ( 2x^3 – x^2 + x – 7) $
c). $ y = {}^{(2x+1)} \log ( x – 2) $
Penyelesaian :
a). $ y = {}^2 \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^2 \log e $

b). Misalkan $ g(x) = 2x^3 – x^2 + x – 7 \rightarrow g^\prime (x) = 6x^2 – 2x + 1 $
Menentukan turunan dengan rumus (ii) :
$ y = {}^2 \log ( 2x^3 – x^2 + x – 7) $
$ y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e = \frac{6x^2 – 2x + 1 }{ 2x^3 – x^2 + x – 7 } . {}^2 \log e $
Jadi, diperoleh $ y^\prime = \frac{6x^2 – 2x + 1 }{ 2x^3 – x^2 + x – 7 } . {}^2 \log e $

c). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a } $
Sesampai lalu fungsinya :
$ y = {}^{(2x+1)} \log ( x – 2) = \frac{\log ( x – 2)}{ \log (2x+1) } $
*). Permisalan , dan turunan memakai rumus (ii) :
$ U = \log (x-2) \rightarrow U^\prime = \frac{1}{x-2} . \log e $
$ V = \log (2x+1) \rightarrow V^\prime = \frac{2}{2x+1} . \log e $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = {}^{(2x+1)} \log ( x – 2) = \frac{\log ( x – 2)}{ \log (2x+1) } = \frac{U}{V} \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V – U.V^\prime}{V^2} \\ y^\prime & = \frac{\frac{1}{x-2} . \log e . \log (2x+1) – \log (x-2) . \frac{2}{2x+1} . \log e }{\left( \log (2x+1) \right)^2 } \end{align} $

Turunan Fungsi ln (dibaca “len”)
       Bentuk ln bekerjsama sama dengan bentuk log (logaritma) hanya saja basinya merupakan $ e $ . Dan untuk sifat-sifat ln juga sama dengan sifat-sifat logaritma.
Bentuk $ {}^e \log x = {}^e \ln x = \ln x \, $ atau
$ \, {}^e \log g(x) = {}^e \ln g(x) = \ln g(x) $ .

Baca Juga:   Fungsi Naik Dan Fungsi Turun Memakai Turunan

Turunan Fungsi ln :
(i). $ y = \ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $
(ii). $ y = \ln g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{g(x)} $

Untuk pembuktiannya memakai turunan logaritma di atas dan sifat logaritma $ {}^a \log a = 1 $
i). $ y = {}^a \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^a \log e $
$ y = \ln x = {}^e \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^e \log e = \frac{1}{x} . 1 = \frac{1}{x} $

ii). $ y = {}^a \log g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e $
$ y = \ln g(x) = {}^e \log g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^e \log e = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . 1 = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } $

Contoh :
2). Tentukan turunan fungsi ln berikut ini :
a). $ y = ln x $
b). $ y = ln (x^2 – 3x + 1) $
Penyelesaian :
a). $ y = ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $
b). Misalkan $ g(x) = x^2 -3x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2x – 3 $
$ y = ln (x^2 – 3x + 1) $
$ y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } = \frac{ 2x – 3 }{ x^2 -3x + 1 } $

Turunan Fungsi Eksponen
       Berikut turunan fungsi eksponen :
i). $ y = a^x \rightarrow y^\prime = a^x . \ln a $
Bentuk khusus : $ y = e^x \rightarrow y^\prime = e^x . \ln e = e^x . 1 = e^x $
ii). $ y = a^{g(x)} \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . a^{g(x)} . \ln a $
Bentuk khusus :
$ y = e^{g(x)} \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . e^{g(x)} . \ln e = g^\prime (x) . e^{g(x)} $

Catatan :
$ \ln e = {}^e \ln e = 1 \, $ sesuai dengan sifat logaritma.
dengan $ e=2,7182818….. \, $ ($e = \, $ bilangan euler)

Contoh :
3). Tentukan turunan fungsi eksponen berikut :
a). $ y = 2^x $
b). $ y = e^x $
c). $ y = 3^{3x^2 – 2x + 1} $
d). $ y = e^{3x^2 – 2x + 1} $
Penyelesaian :
a). $ y = 2^x \rightarrow y^\prime = 2^x . \ln 2 $
b). $ y = e^x \rightarrow y^\prime = e^x $
c). Misalkan $ g(x) = 3x^2 – 2x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 6x – 2 $
$ y = 3^{3x^2 – 2x + 1} $
$ y^\prime = g^\prime (x) . a^{g(x)} . \ln a = (6x-2). 3^{3x^2 – 2x + 1} . \ln 3 $
d). Misalkan $ g(x) = 3x^2 – 2x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 6x – 2 $
$ y = e^{3x^2 – 2x + 1} $
$ y^\prime = g^\prime (x) . e^{g(x)} = (6x-2). e^{3x^2 – 2x + 1} $.