Turunan Fungsi Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada hari ini kali ini kita akan melanjutkan pembahasan bahan turunan khususnya bahan turunan fungsi trigonometri. Sebelumnya juga sudah kita bahas bahan “definisi turunan secara umum” dan “turunan fungsi aljabar“. Untuk turunan fungsi trigonometri ini, kita akan eksklusif memakai rumus dasar turunan fungsi trigonometri. Sementara untuk pembuktiannya, tetap memakai definisi turunan secara umum. Dan juga kita harus mengingat kembali rumus trigonometri pada bahan trigonometri sebelumnya.

Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
       Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri :
i). $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
ii). $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $
iii). $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $
iv). $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $
v). $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $
vi). $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $

Untuk pembuktiannya ada di bab paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk $ \csc x \, $ sama dengan $ cossec \, x $ .

Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut :
a). $ y = \sin x . \cos x $
b). $ y = ( \sin x + 1 )(\tan x – \sec x ) $
c). $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $
Penyelesaian :
a). Turunan persobat semua fungsi , $ y = \sin x . \cos x $
Misalkan $ U = \sin x \rightarrow U^\prime = \cos x $
dan $ V = \cos x \rightarrow V^\prime = -\sin x $
*). Rumus dasar : $ \cos 2x = \cos ^2 x – \sin ^2 x $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \sin x . \cos x \\ y & = U.V \\ y^\prime & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ & = \cos x . \cos x + \sin x . (-\sin x ) \\ & = \cos ^2 x – \sin ^2 x \\ & = \cos 2x \end{align} $
Jadi, diperoleh $ y = \sin x . \cos x \rightarrow y^\prime = \cos ^2 x – \sin ^2 x = \cos 2x $

b). Turunan persobat semua fungsi , $ y = ( \sin x + 1 )(\tan x – \sec x ) $
Misalkan $ U = \sin x + 1 \rightarrow U^\prime = \cos x $
dan $ V = \tan x – \sec x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x – \sec x . \tan x = \sec x ( \sec x – \tan x ) $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = ( \sin x + 1 )(\tan x – \sec x ) \\ y & = U.V \\ y^\prime & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ & = \cos x . (\tan x – \sec x) + ( \sin x + 1 ).\sec x ( \sec x – \tan x ) \end{align} $
Jadi, diperoleh $ y = ( \sin x + 1 )(\tan x – \sec x ) , \, $ turunannya merupakan
$ y^\prime = \cos x . (\tan x – \sec x) + ( \sin x + 1 ).\sec x ( \sec x – \tan x ) $

c). Turunan pembagian fungsi , $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $
Misalkan $ U = 1 + \cot x \rightarrow U^\prime = -\csc ^2 x $
dan $ V = \sin x + \cos x \rightarrow V^\prime = \cos x – \sin x $
*). Ingat rumus identitas dan sudut rangkap pada trigonometri,
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V – U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{-\csc ^2 x . (\sin x + \cos x) – (1 + \cot x). ( \cos x – \sin x ) }{(\sin x + \cos x )^2} \\ & = \frac{ -\csc ^2 x \sin x – \csc ^2 x \cos x – \cos x +\sin x – \cot x \cos x + \cot x \sin x }{ \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ – \frac{1}{\sin ^2 x} . \sin x – \csc ^2 x \cos x – \cos x +\sin x – \cot x \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} . \sin x }{ 1 + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ – \frac{1}{\sin x} – \csc ^2 x \cos x – \cos x +\sin x – \cot x \cos x + \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ – \frac{1}{\sin x} – \csc ^2 x \cos x +\sin x – \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ – \csc x – \csc ^2 x \cos x +\sin x – \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} \, , $ turunannya merupakan
$ \begin{align} y^\prime = \frac{ – \csc x – \csc ^2 x \cos x +\sin x – \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $

Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri yang lebih kompleks
       Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks :
i). $ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .\sin g(x) $
iii). $ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . \csc g(x) . \cot g(x) $

       Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya :
i). $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) $
iii). $ y = \tan ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n \tan ^{n – 1 } g(x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). n. \cot ^{n -1} g(x) . \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n. \sec ^{n -1 } g(x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . n.\csc ^{n -1} g(x) . \csc g(x) . \cot g(x) $

Catatan : bentuk $ \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^n $

       Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita memakai “aturan rantai turunan fungsi“.

       Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam memilih turunannya, ingat kependekan “SuPaTri” dengan kepanjangannya “Sudut Pangkat Trigonometri” yang artinya turunkan sudutnya dahulu, kemudian pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tak ada pangkatnya ($n$), maka eksklusif gunakan “SuTri” saja.

Contoh :
2). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut.
a). $ y = \sin (3x^2 + 2x – 5) $
b). $ y = \cot ( x^2 – x + 7 ) $
c). $ y = \sec ( 5x^3 + 9 ) $
Penyelesaian :
a). misalkan $ g(x) = 3x^2 + 2x – 5 \rightarrow g^\prime (x) = 6x + 2 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \sin (3x^2 + 2x – 5) \\ y & = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) \\ y^\prime & = (6x + 2) . \cos (3x^2 + 2x – 5) \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = (6x + 2) \cos (3x^2 + 2x – 5) $

b). misalkan $ g(x) = x^2 – x + 7 \rightarrow g^\prime (x) = 2x-1 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \cot ( x^2 – x + 7 ) \\ y & = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) \\ y^\prime & = -(2x-1) . \csc ^2 (x^2 – x + 7) \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = -(2x-1) \csc ^2 (x^2 – x + 7) $

c). misalkan $ g(x) = 5x^3 + 9 \rightarrow g^\prime (x) = 15x^2 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \sec ( 5x^3 + 9 ) \\ y & = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec g(x) . \tan g(x) \\ y^\prime & = 15x^2 . \sec ( 5x^3 + 9 ) . \tan ( 5x^3 + 9 ) \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = 15x^2 \sec ( 5x^3 + 9 ) \tan ( 5x^3 + 9 ) $

Baca Juga:   Kecepatan Dan Percepatan Memakai Turunan

3). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut :
a). $ y = \cos ^ 3 (2x^3 – 5x + 2) $
b). $ y = \csc ^ 5 ( x^4 + 5) $
Penyelesaian :
a). misalkan $ g(x) = 2x^3 – 5x + 2 \rightarrow g^\prime (x) = 6x – 5 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \cos ^ 3 (2x^3 – 5x + 2) \\ y & = \cos ^{n } g(x) \\ y^\prime & = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) \\ y^\prime & = -(6x-5) . 3 . \cos ^{3 -1 } (2x^3 – 5x + 2) . \sin (2x^3 – 5x + 2) \\ & = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 – 5x + 2) \sin (2x^3 – 5x + 2) \\ \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 – 5x + 2) \sin (2x^3 – 5x + 2) $

Hasil hasilnya sanggup diubah kebentuk lain dengan memakai rumus trigonometri sudut rangkap, adalah $ \sin 2 g(x) = 2 \sin g(x) \cos g(x) \, $ atau $ \sin g(x) \cos g(x) = \frac{1}{2} \sin 2 g(x) \, $ . Proses modifikasi ini biasanya dilakukan untuk soal-soal yang memakai sistem pilihan ganda. Jika bentuk pertama tak ada di pilihan, maka hasilnya kita modifikasi lagi dengan persamaan trigonometri yang ada sesampai kemudian tanggapan kita ada pada pilihan.
*). Kita modifikasi ,
$ \begin{align} y^\prime & = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 – 5x + 2) \sin (2x^3 – 5x + 2) \\ & = -(18x-15) \cos (2x^3 – 5x + 2) \cos (2x^3 – 5x + 2) \sin (2x^3 – 5x + 2) \\ & = -(18x-15) \cos (2x^3 – 5x + 2) [\cos (2x^3 – 5x + 2) \sin (2x^3 – 5x + 2) ] \\ & = -(18x-15) \cos (2x^3 – 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin 2(2x^3 – 5x + 2) ] \\ & = -(18x-15) \cos (2x^3 – 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin (4x^3 – 10x + 4) ] \\ & = -\frac{1}{2}(18x-15) \cos (2x^3 – 5x + 2) . \sin (4x^3 – 10x + 4) \end{align} $
Sesampai kemudian bentuk lain dari turunannya merupakan
$ y^\prime = -\frac{1}{2}(18x-15) \cos (2x^3 – 5x + 2) \sin (4x^3 – 10x + 4) $

b). misalkan $ g(x) = x^4 + 5 \rightarrow g^\prime (x) = 4x^3 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \csc ^ 5 ( x^4 + 5) \\ y & = \csc ^{n } g(x) \\ y^\prime & = -g^\prime (x) . n.\csc ^{n -1} g(x) . \csc g(x) . \cot g(x) \\ y^\prime & = -(x^4+5) . 5.\csc ^{5 -1} ( x^4 + 5) . \csc ( x^4 + 5) . \cot ( x^4 + 5) \\ & = -(5x^4+25) \csc ^{4} ( x^4 + 5) \csc ( x^4 + 5) \cot ( x^4 + 5) \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = -(5x^4+25) \csc ^{4} ( x^4 + 5) \csc ( x^4 + 5) \cot ( x^4 + 5) $

4). Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x – 1) } $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : $ y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x – 1) } \rightarrow y = [\sin (x^2 + 5x – 1)]^\frac{1}{2} $
misalkan $ g(x) = x^2 + 5x – 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2x + 5 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x – 1) } \rightarrow y = [\sin (x^2 + 5x – 1)]^\frac{1}{2} \\ y & = \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^{n } \\ y^\prime & = g^\prime (x) . n . [\sin g(x) ]^{n-1} . \cos g(x) \\ y^\prime & = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x – 1) ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos (x^2 + 5x – 1) \\ & = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x – 1) ]^{-\frac{1}{2}} . \cos (x^2 + 5x – 1) \\ & = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin (x^2 + 5x – 1) ]^{\frac{1}{2}}} . \cos (x^2 + 5x – 1) \\ & = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin (x^2 + 5x – 1) }} . \cos (x^2 + 5x – 1) \\ & = \frac{(2x + 5)\cos (x^2 + 5x – 1) }{ 2\sqrt{ \sin (x^2 + 5x – 1) }} \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = \frac{(2x + 5)\cos (x^2 + 5x – 1) }{ 2\sqrt{ \sin (x^2 + 5x – 1)}} $

5). Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 – 2x ) } $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 – 2x ) } \rightarrow y = [\cos (3x^2 – 2x)]^\frac{5}{2} $
misalkan $ g(x) = 3x^2 – 2x \rightarrow g^\prime (x) = 6x – 2 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 – 2x ) } \rightarrow y = [\cos (3x^2 – 2x)]^\frac{5}{2} \\ y & = \cos ^{n } g(x) = [\cos g(x) ]^{n } \\ y^\prime & = -g^\prime (x) . n . [\cos g(x) ]^{n-1} . \sin g(x) \\ y^\prime & = -(6x-2) . \frac{5}{2} . [\cos (3x^2 – 2x) ]^{\frac{5}{2}-1} . \sin (3x^2 – 2x) \\ & = -(3x-1) . 5 . [\cos (3x^2 – 2x) ]^{\frac{3}{2}} . \sin (3x^2 – 2x) \\ & = -(15x-5) \sqrt{\cos ^3 (3x^2 – 2x)} \sin (3x^2 – 2x) \end{align} $
Jadi, turunannya merupakan $ y^\prime = -(15x-5) \sqrt{\cos ^3 (3x^2 – 2x)} \sin (3x^2 – 2x) $

Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
       Untuk mengambarkan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri di atas, kita memakai definisi turunan, adalah :
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \, \, $ apabila limitnya ada.

$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
*). Ingat bentuk : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Sesampai kemudian : $ f(x+h) = \sin (x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sesampai kemudian : $ \cos h = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h – 1 = (1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) – 1 = – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = – 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) – \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \sin x ) – \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h – 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h – 1 ) }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h – 1 ) }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ – 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $
Sesampai kemudian terbukti $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $

$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $
*). Ingat bentuk : $ \cos (A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
Sesampai kemudian : $ f(x+h) = \cos (x + h) = \cos x \cos h – \sin x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sesampai kemudian : $ \cos h = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h – 1 = (1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) – 1 = – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = – 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) – \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h – \cos x ) – \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h – 1 ) – \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h – 1 ) }{h} – \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h – 1 ) }{h} – \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ – 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} – \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) – \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) – \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) – \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (0 ) – \sin x \\ & = 0 – \sin x \\ & = -\sin x \end{align} $
Sesampai kemudian terbukti $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $

Baca Juga:   Fungsi Naik Dan Fungsi Turun Memakai Turunan

$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $
*). Ingat Rumus Trigonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Identitas trigonometri : $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $
Sesampai kemudian fungsinya : $ f(x) = \tan x $
$ f(x+h) = \tan (x+h) = \frac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h – \sin x \sin h} $
$ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h – \sin x \sin h} – \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) – \sin x( \cos x \cos h – \sin x \sin h ) }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h – \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos ^2 x + \sin ^2 x ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( 1 ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x \cos 0 – \sin x \sin 0 ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x 1 – \sin x .0 ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x – 0 ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ & = \sec x . \sec x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Sesampai kemudian terbukti $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $

$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $
*). Ingat Rumus Trigonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Identitas trigonometri : $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc A = \frac{1}{\sin A } $
Sesampai kemudian fungsinya : $ f(x) = \cot x $
$ f(x+h) = \cot (x+h) = \frac{\cos (x+h)}{\sin (x+h)} = \frac{\cos x \cos h – \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $
$ f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h – \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} – \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x (\cos x \cos h – \sin x \sin h) – \cos x (\sin x \cos h + \cos x \sin h) }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } – \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h – \sin ^2 x \sin h – \sin x \cos x \cos h – \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ – \sin ^2 x \sin h – \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ – ( \sin ^2 x + \cos ^2 x ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ – ( 1 ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } – \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ – \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ – 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ – 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ & = 1. \frac{ – 1 }{\sin x(\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0) } \\ & = \frac{ – 1 }{\sin x(\sin x .1 + \cos x .0) } \\ & = \frac{ – 1 }{\sin x(\sin x ) } \\ & = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ & = – \csc x . \csc x \\ & = – \csc ^2 x \end{align} $
Sesampai kemudian terbukti $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $

$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $
*). Ingat Rumus Trigonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x A = \frac{1}{\cos A } $
Sesampai kemudian fungsinya : $ f(x) = \sec x $
$ f(x+h) = \sec (x+h) = \frac{1}{\cos (x+h)} = \frac{1}{\cos x \cos h – \sin x \sin h} $
$ f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} $
*). Rumus : $ \cos px = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sesampai kemudian : $ \cos h = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ 1 – \cos h = 1 – (1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\cos x \cos h – \sin x \sin h} – \frac{1}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x – ( \cos x \cos h – \sin x \sin h ) }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x – \cos x \cos h + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x ( 1 – \cos h ) + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x (\cos x \cos h – \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ \cos x . 2 (\sin \frac{1}{2} .0 ) . \frac{1}{2} + \sin x . 1 }{ \cos x (\cos x \cos 0 – \sin x \sin 0 ) } \\ & = \frac{ \cos x . 2 (\sin 0 ) . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x (\cos x . 1 – \sin x . 0 ) } \\ & = \frac{ \cos x . 2 ( 0 ) . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x (\cos x – 0 ) } \\ & = \frac{ 0 + \sin x }{ \cos x (\cos x ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ \sin x }{ \cos x } \\ & = \sec x \tan x \end{align} $
Sesampai kemudian terbukti $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Pada Kurva Memakai Turunan

$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $
*). Ingat Rumus Trigonometri :
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc x A = \frac{1}{\sin A } $
Sesampai kemudian fungsinya : $ f(x) = \csc x $
$ f(x+h) = \csc (x+h) = \frac{1}{\sin (x+h)} = \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $
$ f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} $
*). Rumus : $ \cos px = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sesampai kemudian : $ \cos h = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ 1 – \cos h = 1 – (1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} – \frac{1}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x – (\sin x \cos h + \cos x \sin h) }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x – \sin x \cos h – \cos x \sin h }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x (1 – \cos h ) – \cos x \sin h }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h – \cos x \sin h }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h – \cos x \sin h }{h} }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} – \frac{ \cos x \sin h }{h} }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} – \cos x \frac{ \sin h }{h} }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} – \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 }\frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } \\ & = \frac{ \sin x 2(\sin \frac{1}{2} . 0 ). \frac{1}{2} – \cos x . 1 }{ \sin x (\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 ) } \\ & = \frac{ \sin x 2(\sin 0 ). \frac{1}{2} – \cos x }{ \sin x (\sin x . 1 + \cos x . 0 ) } \\ & = \frac{ \sin x 2 . 0 . \frac{1}{2} – \cos x }{ \sin x (\sin x + 0 ) } \\ & = \frac{ 0 – \cos x }{ \sin x (\sin x ) } \\ & = \frac{ – \cos x }{ \sin x (\sin x ) } \\ & = – \frac{ 1 }{ \sin x } . \frac{ \cos x }{ \sin x } \\ & = – \csc x \cot x \end{align} $
Sesampai kemudian terbukti $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $

Catatan : nilai $ \sin 0 = 0 \, $ dan $ \, \cos 0 = 1 $

Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri kompleks
       Untuk pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, kita memakai hukum rantai turunan fungsi.

$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos g(x) $
*). Permisalan :
$ z = g(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ y = \sin g(x) = \sin z \rightarrow \frac{dy}{dz} = \cos z $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} y & = \sin g(x) \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = \cos z . g^\prime (x) \\ & = g^\prime (x) \cos z \\ & = g^\prime (x) \cos g(x) \end{align} $
Sesampai kemudian terbukti $ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos g(x) $

$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $
*). Permisalan : $ y = \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^n $
$ z = g(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ p = \sin g(x) = \sin z \rightarrow \frac{dp}{dz} = \cos z = \cos g(x) $
$ y = [\sin g(x) ]^n = [ p ]^n \rightarrow \frac{dy}{dp} = n . p ^ {n-1} = n . [ \sin g(x) ]^{n-1} = n. \sin ^{n-1} g(x) $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} y & = \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^n \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dp} . \frac{dp}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = n. \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) . g^\prime (x) \\ & = g^\prime (x) . n. \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) \end{align} $
Sesampai kemudian terbukti $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $

Catatan: untuk pembuktian yang lainnya caranya hampir sama dengan hukum rantai di atas.