Ukuran Sudut : Derajat, Radian, Dan Putaran

Posted on
         Pondok Soal.com Ukuran Sudut merupakan besaran yang dipakai dalam pengukuran sudut. Dalam trigonometri , sudut merupakan hal yang sangat penting yang akan eksklusif bekerjasama dengan nilai trigonometrinya (sin, cos, tan, sec, cossec, dan cot). Pada umumnya, ada dua ukuran yang dipakai untuk memilih besar suatu sudut, ialah derajat dan radian. Tanda “$\circ$” dan “rad” berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian. Singkatnya, satu putaran penuh = $360^\circ$ .

$1^\circ $ didefinisikan sebagai besar sudut yang dibuat oleh $ \frac{1}{360} \, $ putaran penuh.

Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut sentra $\alpha $ suatu bundar yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.

      Hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan $ 2\pi , rad $. Sebagaimana dinyatakan dalam definisi berikut

Hubungan nilai Derajat, Radian, dan Banyak Putaran
       Misalkan Dejarat kita simbolkan D, Radian kita simbolkan R, dan kaya putaran kita simbolkan P, maka kekerabatan Derajat, Radian, dan kaya Putaran (D, R, P), ialah :

                     $ \begin{align} \frac{R}{D} = \frac{R}{P \times 360^\circ } = \frac{\pi}{180^\circ} \end{align} \, \, $ dan $ \, \, \begin{align} D = P \times 360^\circ \end{align} $

dimana, nilai $ \pi = 3,14 \, $ untuk radian dan $ \pi = 180^\circ \, $ untuk derajat.

       Persamaan di atas dipakai untuk memilih nilai satuan yang lain apabila nilai salah satuan diketahui, misalkan diketahui nilai derajat, akan ditanya nilai radian dan berapa putarannya.

Contoh :
1). Selesaikan bentuk berikut :
a). Tentukan besarnya radian dan kaya putaran apabila diketahui besar sudutnya $ 150^\circ $
b). Tentukan besarnya derajat dan kaya putaran apabila diketahui besar radiannya $ \frac{3}{2} \pi \, rad $
c). Tentukan besarnya derajat dan radian apabila diketahui kaya putaran $ \frac{1}{3} \, $ putaran.
Penyelesaian :
a). $ 150^\circ = … \, rad = \, … \, $ putaran
Diketahui $ D = 150^\circ $
*). Menentukan nilai radian :
$ \begin{align} \frac{R}{D} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{R}{150^\circ} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ R & = \frac{\pi}{180^\circ} \times 150^\circ \, \, \, rad \\ R & = \frac{5}{6} \pi rad \end{align} $
*). Menentukan kaya putaran
$ \begin{align} D & = P \times 360^\circ \\ P & = \frac{D}{360^\circ} \, \, \, \text{putaran} \\ P & = \frac{150^\circ}{360^\circ} \, \, \, \text{putaran} \\ P & = \frac{5}{12} \, \, \, \text{putaran} \end{align} $
Jadi, diperoleh : $ 150^\circ = \frac{5}{6} \, rad = \, \frac{5}{12} \, $ putaran

Baca Juga:   Rumus Trigonometri Untuk Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

b). $ \frac{3}{2} \pi \, rad = … ^\circ = \, … \, $ putaran
Diketahui $ R = \frac{3}{2} \pi \, rad $
*). Menentukan nilai derajat :
$ \begin{align} \frac{R}{D} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{\frac{3}{2} \pi }{D} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ D & = \frac{3}{2} \times 180^\circ \\ D & = 270^\circ \end{align} $
*). Menentukan kaya putaran
$ \begin{align} \frac{R}{P \times 360^\circ } & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{\frac{3}{2} \pi }{P \times 360^\circ } & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{\frac{3}{2} }{P \times 2 } & = \frac{1}{1} \\ P & = \frac{3}{4} \, \, \, \text{putaran} \end{align} $
Jadi, diperoleh : $ \frac{3}{2} \pi \, rad = 270 ^\circ = \, \frac{3}{4} \, $ putaran

c). $ \frac{1}{3} \, \, \, \text{putaran} = … ^\circ = \, … \, rad $
Diketahui $ P = \frac{1}{3} \, \, $ putaran
*). Menentukan nilai radian
$ \begin{align} \frac{R}{P \times 360^\circ } & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{R}{P \times 2 } & = \frac{\pi}{1} \\ \frac{R}{\frac{1}{3} \times 2 } & = \pi \\ R & = \frac{2}{3}\pi \, rad \end{align} $
*). Menentukan nilai derajat
$ \begin{align} D & = P \times 360^\circ \\ D & = \frac{1}{3} \times 360^\circ \\ D & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, diperoleh : $ \frac{1}{3} \, \, \, \text{putaran} = 120 ^\circ = \, \frac{2}{3}\pi \, rad $

2). Berapa radian sudut yang dibuat jarum jam pada pukul 11.00?
Penyelesaian :
Sudut yang terbentuk pada pukul 11.00 merupakan 30$^\circ \, \, (D = 30^\circ ) $
*). Menentukan nilai radian
$ \begin{align} \frac{R}{D} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ \frac{R}{30^\circ} & = \frac{\pi}{180^\circ} \\ R & = \frac{\pi}{180^\circ} \times 30^\circ \, \, \, rad \\ R & = \frac{1}{6} \pi \, rad \end{align} $
Jadi, besarnya radian yang terbentuka merupakan $ \frac{1}{6} \pi \, rad $

3). Jika suatu alat pemancar berputar 60 putaran dalam setiap menit, maka tentukanlah kaya putaran dalam satu detik.?
Penyelesaian :
*). Diketahui
1 menit ada 60 putaran,
1 menit = 60 detik,
*). Menentukan putaran setiap detik :
$\begin{align} \frac{\text{putaran tiap detik}}{\text{putaran tiap menit} } & = \frac{1 \, \text{detik} }{1 \, \text{menit} } \\ \frac{\text{putaran tiap detik}}{\text{putaran tiap menit} } & = \frac{1 \, \text{detik} }{60 \, \text{detik} } \\ \frac{\text{putaran tiap detik}}{\text{60} \, \text{putaran} } & = \frac{1}{60} \\ \text{putaran tiap detik} & = \frac{1}{60} \times 60 \, \text{putaran} \\ \text{putaran tiap detik} & = 1 \, \text{putaran} \end{align} $
Jadi, tiap detik ada 1 putaran

Konsep Dasar Sudut
       Dalam kajian geometris, sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi simpulan (terminal side). Selain itu, arah putaran terdapat makna dalam sudut. Suatu sudut bertanda “positif” apabila arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” apabila arah putarannya searah dengan jarum jam. Arah putaran untuk membentuk sudut juga sanggup diperhatikan pada posisi sisi simpulan terhadap sisi awal. Untuk memudahkannya, mari kita cermati deskripsi berikut ini.

*). Sudut standar (baku) merupakan sudut sisi awal suatu garis berimpit dengan sumbu X dan sisi terminalnya terletak pada salah satu kuadran pada koordinat kartesius itu.
*). Sudut pembatas kuadran merupakan sudut sisi simpulan berada pada salah satu sumbu pada koordinat tersebut, ialah $0^\circ, 90^\circ , 180^\circ , 270^\circ \, $ dan $ 360^\circ $
*). Lambang atau simbol sudut lazimnya dipakai karakter Yunani, seperti, $\alpha $ (alpha), $\beta $ (betha), $\gamma $ (gamma), dan $\theta$ (tetha), dan juga dipakai huruf-huruf kapital, ibarat A, B, C, dan D.
*). Sudut-sudut koterminal merupakan dua sudut standar, terdapat sisi-sisi simpulan (terminal side) yang berimpit . Jika sudut yang dihasilkan sebesar $ \alpha $ (sudut standar), maka sudut $ \beta $ disebut sebagai sudut koterminal, sesampai lalu $ \alpha + \beta = 360^\circ $ .

Contoh :
1). Tentukan besar sudut koterminal dari sudut-sudut berikut :
a). $ A = 60^\circ $
b). $ B = 150^\circ $
C). $ C = 240^\circ $
Penyelesaian :
Misalkan sudut koterminalnya merupakan sudut K,
*). Menentukan besarnya sudut K.
a). $ A = 60^\circ $
$ A + K = 360^\circ \rightarrow 60^\circ + K = 360^\circ \rightarrow K = 300^\circ $
b). $ B = 150^\circ $
$ B + K = 360^\circ \rightarrow 150^\circ + K = 360^\circ \rightarrow K = 210^\circ $
c). $ C = 240^\circ $
$ C + K = 360^\circ \rightarrow 240^\circ + K = 360^\circ \rightarrow K = 120^\circ $

Baca Juga:   Nilai Perbandingan Trigonometri Di Aneka Macam Kuadran

2). Gambarkanlah sudut-sudut standar di bawah ini, dan tentukan posisi setiap sudut pada koordinat kartesius.
a) 60$^\circ$ b) -45$^\circ$ c) 120$^\circ$ d) 600$^\circ$
Penyelesaian :

Hubungan Derajat, Menit, dan Detik
       Berikut kekerabatan derajat, menit, dan detik.
*). $ 1^\circ = 1 \, $ jam
*). $ 1^\circ = 60^\prime = 60 \, $ menit
*). $ 1^\circ = 3600^{\prime \prime} = 3600 \, $ detik

Keterangan :
       $ ^\prime \, $ merupakan simbol menit.
       $ ^{\prime \prime} \, $ merupakan simbol detik.

Contoh :
1). Ubahlah bentuk derajat berikut dalam bentuk menit dan detik!
a). $ 62,4^\circ $
b). $ 29,23^\circ $
Penyelesaian :
a). $ 62,4^\circ = 62^\circ + 0,4(60^\prime) = 62^\circ + 24^\prime = 62^\circ 24^\prime $
b). $ 29,23^\circ $
$ \begin{align} 29,23^\circ & = 29^\circ + 0,23(60^\prime) = 29^\circ + 13,8^\prime \\ & = 29^\circ + 13^\prime + 0,8(60^{\prime \prime}) \\ & = 29^\circ + 13^\prime + 48^{\prime \prime} \\ & = 29^\circ 13^\prime 48^{\prime \prime} \end{align} $

2). Ubahlah bentuk berikut dalam derajat!
a). $ 78^\circ 30^\prime $
b). $ 58^\circ 22^\prime 16^{\prime \prime} $
Penyelesaian :
a). $ 78^\circ 30^\prime = 78^\circ + \frac{30^\circ}{60} = 78^\circ + 0,5^\circ = 78,5^\circ $
b). $ 58^\circ 22^\prime 16^{\prime \prime} = 58^\circ + \frac{22^\circ}{60} + \frac{16^\circ}{3600} = 58,37111…^\circ = 58,37^\circ $

3). Hitunglah operasi berikut!
a). $ 25^\circ 15^\prime + 62^\circ 56^\prime $
b). $ 35^\circ 55^\prime + 62^\circ 2^\prime 26^{\prime \prime} $
c). $ 63^\circ 55^\prime – 23^\circ 15^\prime $
d). $ 37^\circ 42^\prime – 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} $
e). $ 32^\circ 25^\prime – 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} $
Penyelesaian :
a). $ 25^\circ 15^\prime + 62^\circ 56^\prime $
$\begin{array}{cc} 25^\circ 15^\prime & \\ 62^\circ 56^\prime & + \\ \hline 87^\circ 71^\prime & \end{array} $
jadi, $ 25^\circ 15^\prime + 62^\circ 56^\prime = 87^\circ 71^\prime = 87^\circ + 60^\prime + 11^\prime = 87^\circ + 1^\circ + 11^\prime = 88^\circ 11^\prime $

b). $ 35^\circ 55^\prime + 62^\circ 2^\prime 26^{\prime \prime} $
$\begin{array}{cc} 35^\circ 55^\prime & \\ 62^\circ 2^\prime 26^{\prime \prime} & + \\ \hline 97^\circ 57^\prime 26^{\prime \prime} & \end{array} $
jadi, $ 35^\circ 55^\prime + 62^\circ 2^\prime 26^{\prime \prime} = 97^\circ 57^\prime 26^{\prime \prime} $

Baca Juga:   Penerapan Rumus Trigonometri Pada Soal-Soal Bab 1

c). $ 63^\circ 55^\prime – 23^\circ 15^\prime $
$\begin{array}{cc} 63^\circ 55^\prime & \\ 23^\circ 15^\prime & – \\ \hline 40^\circ 40^\prime & \end{array} $
jadi, $ 63^\circ 55^\prime – 23^\circ 15^\prime = 40^\circ 40^\prime $

d). $ 37^\circ 42^\prime – 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} $
$\begin{array}{cccc} 37^\circ 42^\prime & \rightarrow & 37^\circ 41^\prime 60^{\prime \prime} & \\ 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} & \rightarrow & 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} & – \\ \hline & & 17^\circ 10^\prime 34^{\prime \prime} & & \end{array} $
jadi, $ 37^\circ 42^\prime – 20^\circ 31^\prime 26^{\prime \prime} = 17^\circ 10^\prime 34^{\prime \prime} $

e). $ 32^\circ 25^\prime – 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} $
$\begin{array}{cccccc} 32^\circ 25^\prime & \rightarrow & 32^\circ 24^\prime 60^{\prime \prime} & \rightarrow & 31^\circ 84^\prime 60^{\prime \prime} & \\ 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} & \rightarrow & 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} & \rightarrow & 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} & – \\ \hline & & & & 10^\circ 49^\prime 46^{\prime \prime} & \end{array} $
jadi, $ 32^\circ 25^\prime – 21^\circ 35^\prime 14^{\prime \prime} = 10^\circ 49^\prime 46^{\prime \prime} $