Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “kedudukan dua lingkaran“, pada artikel ini kita akan membahas wacana kelanjutan bahan tersebut yaitu Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran. Tujuan bahan Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran ini merupakan untuk memantapkan pemahaman bahan melalui sedikit variasi tipe soal. Namun sebelumnya, akan kita tuliskan kembali sedikit kecukupan kedudukan dua bulat dengan syarat-syaratnya. Teman-teman sebaiknya juga membaca dahulu artikel kedudukan dua bulat yang sudah kita upload sebelumnya.

         Agar memudahkan dalam mempelajari artikel variasi soal kedudukan dua lingkaran, teman-teman harus menguasai bahan “persamaan lingkaran” (khususnya memilih sentra dan jari-jarinya) , jarak antara dua titik (untuk mencari jarak antara dua sentra lingkaran), bentuk mutlak dan sifat pertaksamaan bentuk mutlak

Beberapa Jenis kedudukan dua bulat
       Dari artikel “kedudukan dua lingkaran” sebelumnya, ada 8 jenis kedudukan dua lingkaran. Misalkan ada dua bulat dengan jari-jari masing-masing $ r_1 $ dan $ r_2 $, serta jarak kedua sentra lingkarannya merupakan $ d $ dan kita tak tahu bulat mana yang lebih besar. Berikut syarat masing-masing kedudukan dua lingkarannya :

$\spadesuit \, $ Lima jenis kedudukan dua bulat
Untuk memudahkan mengingat, perhatikan gambar berikut ini.

Dari gambar, ada 5 kecukupan kedudukan dua lingkaran. Perhatikan gerakan bulat kecil (warna merah), seakan-akan bergerak terus menurus ke arah kanan bulat besar (warna biru) yang tetap. Nah untuk syaratnya, perhatikan garis bilangan di bawahnya, kedudukan (i) berada dipaling kiri $|r_1-r_2|$, kedudukan (ii) berada sempurna di $|r_1-r_2|$, kedudukan (iii) diantara $|r_1-r_2| \, $ dan $ r_1 + r_2 $ , kedudukan (iv) berada sempurna di $ r_1+r_2$ , dan kedudukan (v) berada di kanan $ r_1 + r_2 $.
Kedudukan dan syarat-syaratnya :
(i). Lingkaran berada di dalam bulat lain, syaratnya $ d < |r_1 – r_2| $
(ii). bersinggungan dalam, syaratnya $ d = |r_1 – r_2| $
(iii). berotongan, syaratnya $ |r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2 $
(iv). bersinggungan luar, syaratnya $ d = r_1 + r_2 $
(v). tak berpotongan, syaratnya $ d > r_1 + r_2 $

$\clubsuit \, $ Tiga jenis kedudukan dua bulat sisanya
Tiga jenis kedudukan lainnya merupakan :
(vi). Kosentris (sepusat), syaratnya kedua sentra bulat sama.
(vii). Ortogonal (tegak lurus), syaratnya $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
(viii). berpotongan sempurna pada diameter, syaratnya $ d^2 = | r_1^2 – r_2^2 | $

Catatan :
*). Untuk gambar kedudukan (vi), (vii), dan (viii), teman-teman eksklusif sanggup melihat gambarnya pada artikel “kedudukan dua lingkaran” sebelumnya.
*). bentuk $ |r_1 – r_2 | $ bertujuan biar hasil pengurangannya selalu positif alasannya yaitu nilai $ d $ (jarak pusat) juga selalu positif.
*). Bentuk mutlak $ |f(x) | = \sqrt{[f(x)]^2} $
*). Sifat pertaksamaan mutlak yang kita gunakan yaitu :
$ |f(x)| < a , \, $ maka $ -a < f(x) < a \, $ dan
$ | f(x) > a , \, $ maka $ f(x) < -a \, $ atau $ f(x) > a $
berlaku sama juga untuk tanda ketaksamaan $ \leq \, $ dan $ \geq $.

Contoh variasi soal kedudukan dua bulat :
1). Diketahui dua bulat dengan persamaan masing-masing :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 – 5p – 16 = 0 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 -2x – 2qy + q^2 – q – 2 = 0 $ .
Jika kedua bulat kosentris, maka tentukan nilai $ p + q \, $ dan jari-jari kedua lingkaran!

Baca Juga:   Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran

Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan sentra kedua bulat :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 – 5p – 16 = 0 $
nilai $ A = -2p, B = 4, C = p^2 – 5p – 16 $
Pusat L1,
$ a = -\frac{1}{2}A = – \frac{1}{2}(-2p) = p $
$ b = -\frac{1}{2}B = – \frac{1}{2}(4) = -2 $ Sesampai kemudian pusatnya : $ (a,b) = ( p , -2) $
Jari-jari L1,
$ r_1 = \sqrt{a^2 + b^2 – C } = \sqrt{p^2 + (-2)^2 – (p^2 – 5p – 16)} = \sqrt{5p + 20} $
L2 : $ x^2 + y^2 -2x – 2qy + q^2 – q – 2 = 0 $
nilai $ A = -2, B = -2q, C = q^2 – q – 2 $
Pusat L2,
$ a = -\frac{1}{2}A = – \frac{1}{2}(-2) = 1 $
$ b = -\frac{1}{2}B = – \frac{1}{2}(-2q) = q $ Sesampai kemudian pusatnya : $ (a,b) = ( 1,q) $
Jari-jari L2,
$ r_2 = \sqrt{a^2 + b^2 – C } = \sqrt{1^2 + q^2 – (q^2 – q – 2)} = \sqrt{q+3} $
*). Kedua bulat kosentris, artinya kedua bulat terdapat sentra yang sama sesampai kemudian :
$ \begin{align} \text{pusat L1 } & = \text{ sentra L_2} \\ ( p , -2) & = ( 1,q) \end{align} $
Artinya nilai $ p = 1 \, $ dan $ q = -2 $.
*). Nilai $ p + q = 1 + (-2) = -1 $.
*). Menentukan besar jari-jari kedua bulat :
$ r_1 = \sqrt{5p + 20} = \sqrt{5 . 1 + 20} = \sqrt{25} = 5 $
$ r_2 = \sqrt{q + 3} = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1 $
Jadi, nilai $ p + q = -1 \, $ dan $ r_1 = 5, \, r_2 = 1. \, \heartsuit $.

2). Diketahui dua bulat dengan persamaan masing-masing
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 \, $ dan
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $.
Tentukan besarnya jari-jari bulat kedua apabila kedua bulat terdapat kedudukan :
a). Salah satu ada di dalam bulat lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan sempurna pada diameter.

Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari :
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 $
Pusat L1 : $(-2,2) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{r^2} = r $
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $
Pusat L2 : $(2,-1) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua sentra bulat ($d$) :
$ d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(2 – (-2))^2 + (-1 – 2)^2} = \sqrt{25} = 5 $.

*). Menentukan besar jari-jari bulat pertama ($r$) apabila
a). Salah satu ada di dalam bulat lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 – r_2 | $
sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & < |r_1 – r_2 | \\ 5 & < |r – 3| \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ |r – 3 | & > 5 \\ r – 3 & < -5 \vee r – 3 > 5 \\ r & < -5 + 3 \vee r > 5 + 3 \\ r & < -2 \vee r > 8 \end{align} $
Karena jari-jari positif, maka yang memenuhi $ r > 8 $.
Jadi, biar salah satu bulat ada di dalam bulat lainnya, maka jari-jari bulat pertama merupakan $ r > 8 $.

b). bersinggungan dalam,
Syaratnya $ d = | r_1 – r_2 | $
Sesampai kemudian :
$\begin{align} d & = | r_1 – r_2 | \\ 5 & = | r – 3 | \\ | r – 3 | & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( r – 3 )^2 & = 5^2 \\ ( r – 3 )^2 – 5^2 & = 0 \\ ( r – 3 + 5 )(r – 3 – 5) & = 0 \\ ( r +2 )(r- 8) & = 0 \\ r = – 2 \vee r & = 8 \end{align} $
Jadi, jari-jari bulat pertama merupakan $ r = 8 $.

c). berpotongan,
Syarat $ |r_1 – r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} |r_1 – r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |r – 3 | < & 5 < r + 3 \\ |r – 3 | < 5 & \cap 5 < r + 3 \\ -5 < r – 3 < 5 & \cap r + 3 > 5 \\ -5 + 3 < r – 3 + 3 < 5 + 3 & \cap r > 5 – 3 \\ -2 < r < 8 & \cap r > 2 \end{align} $
solusinya merupakan irisan dari $ -2 < r < 8 \, $ dan $ r > 2 $ yaitu $ 2 < r < 8 $.
Jadi, biar kedua bulat berpotongan, maka besar jari-jarinya merupakan $ 2 < r < 8 $.

Baca Juga:   Keliling Irisan Dua Bundar Bentuk 2

d). bersinggungan luar,
Syarat $ d = r_1 + r_2 $
sesampai kemudian : $ d = r_1 + r_2 \rightarrow 5 = r + 3 \rightarrow r = 2 $.
Jadi, biar kedua bersinggungan luar, maka jari-jari bulat pertama $ r = 2 $.

e). tak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $.
sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ 5 & > r + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ r + 3 & < 5 \\ r & < 5 – 3 \\ r & < 2 \end{align} $
Jadi, biar kedua bulat tak berpotongan maka jari-jari bulat pertama merupakan $ 0 < r < 2 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $.
sesampai kemudian :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ 5^2 & = r^2 + 3^2 \\ 25 & = r^2 + 9 \\ r^2 & = 16 \\ r & = 4 \end{align} $
Jadi, biar kedua bulat ortogonal maka jari-jari bulat pertama merupakan $ r = 4 $.

g). berpotngan sempurna pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 – r_2^2| $.
sesampai kemudian :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 – r_2^2| \\ 5^2 & = |r^2 – 3^2| \\ 25 & = |r^2 – 9| \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 25^2 & = (r^2 – 9)^2 \\ (r^2 – 9 + 25)(r^2 – 9 – 25) & = 0 \\ (r^2 + 16)(r^2 -34) & = 0 \\ r^2 = – 16 \vee r^2 = 34 \end{align} $
yang memenuhi $ r^2 = 34 \rightarrow r = \sqrt{34} $
Jadi, jari-jari bulat pertama merupakan $ r = \sqrt{34} $ .


3). Diketahui dua bulat dengan jari-jari masing-masing merupakan 4 dan 7. $ d $ menyatakan jarak kedua sentra lingkaran. Tentukan nilai $ d $ apabila kedua bulat terdapat keduduka :
a). Salah satu ada di dalam bulat lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan sempurna pada diameter.

Penyelesaian :
a). Salah satu ada di dalam bulat lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 – r_2 | $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & < |r_1 – r_2 | \\ d & < |4 – 7 | \\ d & < | – 3 | \\ d & < 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ 0 < d < 3 \, $ alasannya yaitu selalu positif.

b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 – r_2 | $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & = |r_1 – r_2 | \\ d & = |4 – 7 | \\ d & = |-3| \\ d & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 3 $.

c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 – r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} |r_1 – r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |4 – 7 | < & d < 4 + 7 \\ |-3 | < & d < 11 \\ 3 < & d < 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d $ merupakan $ 3 < d < 11 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ d & = 4 + 7 \\ d & = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 11 $.

e). tak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ d & > 4 + 7 \\ d & > 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d > 11 $.

Baca Juga:   Keliling Dan Luas Irisan Dua Lingkaran

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ d & = \sqrt{4^2 + 7^2 } \\ & = \sqrt{16 + 49 } \\ & = \sqrt{65 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{65} $

g). berpotngan sempurna pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 – r_2^2| $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 – r_2^2| \\ d & = \sqrt{|4^2 – 7^2| } \\ & = \sqrt{|16 – 49| } \\ & = \sqrt{|-33| } \\ & = \sqrt{33 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{33} $

4). Diketahui dua bulat dengan persamaan
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Tentukan nilai $ p \, $ apabila kedudukan kedua lingkarannya :
a). Salah satu ada di dalam bulat lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan sempurna pada diameter.

Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari lingkarannya :
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
Pusat L1 : $( p,0) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{25} = 5 $
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Pusat L2 : $ ( 0,0 ) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua sentra ($d$) :
$ d =\sqrt{(p-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{p^2} = |p| $

a). Salah satu ada di dalam bulat lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ |p| & < |5 - 3 | \\ |p| & < 2 \\ -2 < p & < 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ -2 < d < 2 \, $ untuk kedudukan pertama ini.b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 – r_2 | $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & = |r_1 – r_2 | \\ |p| & = |5-3| \\ |p| & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ p^2 & = 2^2 \\ p & = \pm \sqrt{4} \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p= -2 \, $ atau $ p = 2 $.

c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 – r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} |r_1 – r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |5 - 3 | < & |p| < 5 + 3 \\ 2 < & |p| < 8 \\ 2 < & p < 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p $ merupakan $ 2 < p < 8 $.d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ |p| & = 5 + 3 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 \, $ atau $ p = 8 $.

e). tak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ |p| & > 5 + 3 \\ |p| & > 8 \\ p < -8 & \vee p > 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p < -8 \, $ atau $ p > 8 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ |p|^2 & = 5^2 + 3^2 \\ p ^2 & = 34 \\ p & = \pm \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \sqrt{34} \, $ atau $ p = \sqrt{34} $

g). berpotngan sempurna pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 – r_2^2| $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 – r_2^2| \\ |p|^2 & = |5^2 – 3^2| \\ p^2 & = |16| \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -4 \, $ atau $ p = 4 $.

         Demikian pembahasan bahan Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan dengan irisan dua lingkaran. Semoga bahan ini sanggup bermanfaat. Terima kasih.