Vektor Basis Normal Standar

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Vektor Basis Normal Standar yang merupakan salah satu dari bab “materi vektor tingkat SMA“. Pada artikel sebelumnya perihal “Pengertian Vektor dan Penulisannya“, sebuah vektor sanggup kita saapabilan atau tulis dalam bentuk vektor baris atau vektor kolom atau dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \, \vec{k} $. Nah, pada artikel Vektor Basis Normal Standar ini akan kita bahas apa pengertian dari vektor basis itu sendiri. Namun sebelum mempelajari apa itu vektor basis atau apa itu basis sebuah vektor, kita akan mempelajari terlebih dahulu bahan kombinasi linear vektor. Kombinasi linear vektor berkaitan dekat dengan persobat semua skalar dengan vektor dan penjumlahan vektor, sesampai lalu kita juga akan bahas sekilas perihal persobat semua skalar dengan vektor dan penjumlahan vektor secara aljabar dimana caranya sama dengan “operasi pada matriks“. Untuk lebih mendetail perihal operasi vektor khususnya “penjumlahan dan pengurangan vektor” dan “persobat semua skalar dengan vektor” akan kita bahas dalam artikel lain secara kompleks.

Penjumlahan dan pengurangan vektor serta persobat semua skalar
$ \clubsuit \, $ Penjumlahan dan pengurangan vektor
       Secara aljabar, penjumlahan dan pengurangan dua vektor dilakukan dengan menjumlahkan unsur-unsur yang seletak.
-). vektor di dimensi dua (R$^2$)
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2) $ dan $ \vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1, \, a_2 – b_2) $
-). vektor di dimensi tiga (R$^3$)
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2 , \, a_3 + b_3) $ dan
$ \vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1, \, a_2 – b_2, \, a_3 – b_3) $

$ \spadesuit \, $ Persobat semua Skalar
       Secara aljabar, persobat semua skalar dengan vektor karenanya semua unsur pada vektor dikalikan dengan skalarnya. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $ serta terdapat skalar $ k $, maka
$ k\vec{a} = (ka_1 , \, ka_2) \, $ dan $ k\vec{b} = (kb_1, \, kb_2, \, kb_3 ) $

Kombinasi Linear vektor dan Basis
       Misalkan $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, …, \vec{v_r} $ merupakan vektor-vektor dalam R$^2$ atau di R$^3$. Setiap vektor $ \vec{v} $ dalam R$^2$ atau di R$^3$ sanggup dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, …, \vec{v_r} $, adalah :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}+k_3\vec{v_3}+…+k_r\vec{v_r} $,
dengan $ k_1, k_2, k_3, …,k_r $ merupakan skalar-skalar real. Jika $ k_1, k_2, k_3, …,k_r $ tunggal, maka vektor-vektor $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, …, \vec{v_r} $ ini disebut basis untuk vektor di R$^2$ atau di R$^3$.

Contoh soal kombinasi linear dan basis :

Baca Juga:   Sifat Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Vektor

1). Misalkan terdapat vektor $ \vec{v_1} = (2 , \, 0) $ , $ \vec{v_2} = (3 , \, 1) $ , $ \vec{v_3} = (2, \, 3 ) $ dan $ \vec{v} = ( 6 , \, 4) $.
a). Apakah $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ merupakan vektor basis untuk R$^2$?
b). Apakah $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ merupakan vektor basis untuk R$^2$?

Penyelesaian :
a). Apakah $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ merupakan vektor basis untuk R$^2$?
Misalkan terdapat $ k_1 $ dan $ k_2 $, sesampai lalu memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} $ . Jika terdapat tunggal $ k_1 $ dan $ k_2 $ yang memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} $ , maka $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ merupakan vektor basis untuk R$^2$, apabila tak tunggal, maka bukan merupakan vektor basis.
$ \begin{align} \vec{v} & = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & = k_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) +k_2\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 \\ 0 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 + 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) \end{align} $
terbentuk persamaan :
$ k_2 = 4 $
$ 6 = 2k_1 + 3k_2 \rightarrow 6 = 2k_1 + 3.4 \rightarrow 6 = 2k_1 + 12 \rightarrow k_1 = – 3 $
kita peroleh nilai $ k_1 = -3 $ dan $ k_2 = 4 $. Karena nilai $ k_1 $ dan $ k_2 $ hanya ada satu masing-masing adalah $ k_1 = -3 $ dan $ k_2 = 4 $, artinya ada tunggal nilai $ k_1 $ dan $ k_2 $, sesampai lalu $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ merupakan vektor basis untuk R$^2$.

b). Apakah $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ merupakan vektor basis untuk R$^2$?
Misalkan terdapat $ k_1, k_2, k_3 $ yang memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} + k_3\vec{v_3} $. Mari kita cek, apakah terdapat tunggal nilai $ k_1, k_2, k_3 $ .
$ \begin{align} \vec{v} & = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} + k_3\vec{v_3} \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & = k_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) +k_2\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) +k_3\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 \\ 0 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k_3 \\ 3k_3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 \\ k_2 + 3k_3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Terbentuk persamaan :
$ 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 = 6 \, $ ……(i)
$ k_2 + 3k_3 = 4 \, $ ……..(ii)
Karena hanya terbentuk dua persamaan dan terdapat tiga variabel $ k_1, k_2, k_3 $ , maka akan ada kaya penyelesaian. Misalkan nilai $ k_3 = t $, maka dari persamaan (ii) :
$ k_2 + 3k_3 = 4 \rightarrow k_2 + 3t = 4 \rightarrow k_2 = 4 – 3t $.
Dari pers(i) :
$ \begin{align} 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 & = 6 \\ 2k_1 + 3( 4 – 3t) + 2t & = 6 \\ 2k_1 + 12 – 9t + 2t & = 6 \\ 2k_1 & = -6 + 7t \\ k_1 & = -3 + \frac{7}{2}t \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ k_1, k_2, $ dan $ k_3 $ :
$ k_3 = t, k_2 = 4 – 3t $ , dan $ k_1 = -3 + \frac{7}{2}t $.
Artinya solusinya tak tunggal alasannya tergantung dari nilai $ t $.
Misalkan $ t = 0 \rightarrow k_3 = 0 , k_2 = 4, k_1 = – 3 $
Misalkan $ t = 2 \rightarrow k_3 = 2 , k_2 = -2, k_1 = 4 $
dan lainnya.
Jadi, $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ bukan vektor basis untuk R$^2$.

Vektor Basis normal Standar
       Misalkan V menyetakan dimensi R$^2 $ atau di R$^3$ atau di ruang vektor lainnya, vektor-vektor $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, …, \vec{v_r} $ disebut basis dari V apabila untuk setiap $ \vec{v} \in V $, vektor $ \vec{v} $ sanggup dinyatakan sebagai kombinasi linear secara tunggal dari $ r $ vektor tersebut, yakni :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}+k_3\vec{v_3}+…+k_r\vec{v_r} $,
dengan $ k_1, k_2, k_3 , … , k_r $ tunggal.

Baca Juga:   Vektor Posisi Dan Vektor Nol

       Jika masing-masing vektor tersebut panjangnya 1 satuan dan saling tegak lurus, maka $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, …, \vec{v_r} $ disebut vektor basis normal standar dalam V.

Berdasarkan definisi dari Vektor Basis normal Standar, maka :
(i). vektor $ \vec{i} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{j} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) $ merupakan vektor basis normal standar dalam ruang vektor di R$^2$.
(ii). vektor $ \vec{i} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{j} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $ $ \vec{k} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) $ merupakan vektor basis normal standar dalam ruang vektor di R$^3$.

Contoh Soal Vektor Basis Normal Standar :

2). Diketahui koordinat $ A (-1, 3) $ dan $ B (2, 0 ) $ . Tuliskan vektor $ \vec{AB} $ dalam vektor baris, vektor kolom, dan dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{AB} $ :
$ \vec{AB} = B – A = ( 2 – (-1) , \, 0 – 3) = (3, \, -3) \, $ (vektor baris),
Vektor kolomnya : $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) $
vektor basis : $ \vec{AB} = 3\vec{i} – 3\vec{j} $

*). Mari kita cek khusus penyajian dalam vektor basis untuk pola soal nomor 2 ini :
$ \begin{align} \vec{AB} & = 3\vec{i} – 3\vec{j} \\ & = 3\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) – 3\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 – 0 \\ 0 – 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ – 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, penyajian $ \vec{AB} = 3\vec{i} – 3\vec{j} \, $ merupakan benar adalah menghasilkan vektor $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) $

3). Diketahui koordinat $ P (1, 0 , -2) $ dan $ Q (3, -1, 1) $ . Tuliskan vektor $ \vec{PQ} $ dalam vektor baris, vektor kolom, dan dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \vec{j} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q – P = ( 3 – 1, \, -1 – 0 , \, 1 – (-2) ) = (2, \, -1 , \, 3 ) $ (vektor baris),
Vektor kolomnya : $ \vec{PQ} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $
vektor basis : $ \vec{PQ} = 2\vec{i} – \vec{j} + 3\vec{k} $

Baca Juga:   Perkalian Vektor Dengan Skalar

*). Mari kita cek khusus penyajian dalam vektor basis untuk pola soal nomor 3 ini :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = 2\vec{i} – \vec{j} + 3\vec{k} \\ & = 2\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 – 0 + 0 \\ 0 – 1 + 0 \\ 0 – 0 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ – 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, penyajian $ \vec{PQ} = 2\vec{i} – \vec{j} + 3\vec{k} \, $ merupakan benar adalah menghasilkan vektor $ \vec{PQ} = (2, \, -1 , \, 3 ) $

4). Tentukan penyajian vektor $ \vec{a} = (3, \, 0 , \, -5 ) $ dalam bentuk vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \vec{j} $ !
Penyelesaian :
Penyajian dalam vektor basisnya adalah : $ \vec{a} = 3\vec{i} – 5\vec{k} $.

5). Ubahlah penyajian vektor dibawah ini menjadi vektor baris :
a). $ \vec{a} = 2\vec{i} – 3\vec{j} \, $ di R$^2$
b). $ \vec{b} = 3\vec{i} \, $ di R$^2$
c). $ \vec{c} = -4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} \, $ di R$^3$
d). $ \vec{d} = 2\vec{j}-7\vec{k} \, $ di R$^3$
e). $ \vec{e} = -\vec{i} + 3\vec{j} \, $ di R$^3$
Penyelesaian :
*). Berikut penyajian vektor masing-masing dalam vektor baris :
a). $ \vec{a} = 2\vec{i} – 3\vec{j} \, $ di R$^2$
vektor baris : $ \vec{a} = (2, \, -3) $
b). $ \vec{b} = 3\vec{i} \, $ di R$^2$
vektor baris : $ \vec{b} = (3, \, 0) $
c). $ \vec{c} = -4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{c} = (-4, \, 1, \, 2) $
d). $ \vec{d} = 2\vec{j}-7\vec{k} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{d} = (0, \, 2 , \, -7) $
e). $ \vec{e} = -\vec{i} + 3\vec{j} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{e} = (-1, \, 3 , \, 0 ) $

6). Tentukanlah panjang dari vektor-vektor berikut :
a). $ \vec{p} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $ di R$^2$,
b). $ \vec{q} = 3\vec{i} + \vec{j}- 2\vec{k} $ di R$^3$,
Penyelesaian :
*). Berikut panjang vektor masing-masing :
a). $ \vec{p} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $ di R$^2$,
panjang vektor $ \vec{p} $ :
$ |\vec{p}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 } = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $
b). $ \vec{q} = 3\vec{i} + \vec{j}- 2\vec{k} $ di R$^3$,
panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2 } = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $

       Demikian pembahasan bahan Vektor Basis Normal Standar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Kesamaan Dua Vektor dan Sejajar, dan Segaris“.