Vektor Normal Garis Lurus

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Vektor Normal Garis Lurus di R$^2$. Sementara pada R$^3$ akan terbentuk bidang yang diwakili oleh sebuah persamaan dimana kita juga sanggup memilih vektor normal bidang di R$^3$. Materi Vektor Normal Garis Lurus dan Vektor Normal bidang ini sangat penting alasannya ialah berkaitan bersahabat dengan bahan lain yang akan kita bahas yaitu aplikasi vektor yaitu salah satunya merupakan “jarak titik ke garis lurus” dan “jarak titik ke bidang yang persamaannya diketahui”. Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Vektor Normal Garis Lurus ini, sebaiknya teman-teman harus menguasai bahan “pengertian vektor dan penulisannya” dan syarat dua vektor saling tegak lurus yaitu pada bahan “persobat semua dot dua vektor” serta “persamaan garis lurus“. Sebagai bahasan awal, vektor normal merupakan vektor yang tegak lurus. Vektor normal garis lurus artinya sebuah vektor yang tegak lurus dengan garis tersebut, begitu juga vektor normal bidang merupakan sebuah vektor yang tegak lurus dengan bidang yang dimaksud. Vektor normal yang dipilih biasanya vektor normal yang paling simpel.

Vektor Normal Garis Lurus $ ax + by + c = 0 \, $ di R$^2$
Vektor normal garis lurus $ ax + by + c = 0 $
merupakan vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Vektor Normal Bidang $ ax + by + cz + d = 0 \, $ di R$^3$
Vektor normal garis lurus $ ax + by + cz + d = 0 $
merupakan vektor $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian vektor normal garis lurus $ ax + by + c = 0 $ :
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini :

       Misalkan kita pilih dua titik berlainan yaitu $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ yang terletak pada garis lurus $ ax + by + c = 0 $ . Karena kedua titik A dan B terletak pada garis lurus, maka titik-titik tersebut sanggup kita substitusikan ke persamaan garisnya, yaitu :
$ A(x_1,y_1) \rightarrow ax_1 + by_1 + c = 0 $ dan $ B(x_2,y_2) \rightarrow ax_2 + by_2 + c = 0 $.
*). Kita eliminasi kedua bentuk persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} ax_2 + by_2 + c = 0 & \\ ax_1 + by_1 + c = 0 & – \\ \hline a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 & \end{array} $
Kita peroleh bentuk :
$ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 \, $ ……….(i)
*). Dari kedua titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ sanggup kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ yang berimpit dengan garis $ ax + by + c = 0 $. Vektor $ \vec{AB} $ merupakan :
$ \vec{AB} = \vec{b} – \vec{a} = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \end{matrix} \right) $
*). Vektor normal garis $ ax + by + c = 0 $ yaitu $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan hasil persobat semua dot antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{AB} $ :
$ \vec{u} . \vec{AB} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \end{matrix} \right) = a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) $
*). Berdasarkan pers (i) yaitu $ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 $ , ini artinya $ \vec{u}. \vec{AB} = 0 $ . Karena persobat semua dot antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{AB} $ balasannya nol, maka vektor $ \vec{u} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{AB} $.
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ tegak lurus dengan garis $ ax+by+c = 0 $, dimana vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ ini kita sebut sebagai vektor normal dari garis $ ax+by+c = 0 $ .

Baca Juga:   Pembuktian Dalil Menelaus Dan Ceva Dengan Vektor

$ \clubsuit \, $ Pembuktian vektor normal bidang $ ax + by + cz + d = 0 $ :
       Misalkan kita pilih dua titik berlainan yaitu $ A(x_1,y_1,z_1) $ dan $ B(x_2,y_2,z_2) $ yang terletak pada bidang $ ax + by + cz+ d = 0 $ . Karena kedua titik A dan B terletak pada bidang, maka titik-titik tersebut sanggup kita substitusikan ke persamaan bidangnya, yaitu :
$ A(x_1,y_1,z_1) \rightarrow ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0 $
$ B(x_2,y_2,z_2) \rightarrow ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0 $.
*). Kita eliminasi kedua bentuk persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} ax_2 + by_2 + cz_1 + d = 0 & \\ ax_1 + by_1 + cz_2 + d = 0 & – \\ \hline a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) = 0 & \end{array} $
Kita peroleh bentuk :
$ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2 – z_1) = 0 \, $ ……….(ii)
*). Dari kedua titik $ A(x_1,y_1,z_1) $ dan $ B(x_2,y_2,z_2) $ sanggup kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ yang berimpit dengan bidang $ ax + by + cz+ d = 0 $. Vektor $ \vec{AB} $ merupakan :
$ \vec{AB} = \vec{b} – \vec{a} = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \ z_2 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \\ z_2 – z_1 \end{matrix} \right) $
*). Vektor normal garis $ ax + by + cz + d = 0 $ yaitu $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan hasil persobat semua dot antara vektor $ \vec{v} $ dan $ \vec{AB} $ :
$ \vec{v} . \vec{AB} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \\ z_2 – z_1 \end{matrix} \right) = a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) $
*). Berdasarkan pers (ii) yaitu $ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2 – z_1) = 0 $ , ini artinya $ \vec{v}. \vec{AB} = 0 $ . Karena persobat semua dot antara vektor $ \vec{v} $ dan $ \vec{AB} $ balasannya nol, maka vektor $ \vec{v} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{AB} $.
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $ tegak lurus dengan bidang $ ax+by+cz + d = 0 $, dimana vektor $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $ ini kita sebut sebagai vektor normal dari bidang $ ax+by+cz + d = 0 $ .

Baca Juga:   Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor

Contoh soal Vektor Normal Garis Lurus dan bidang :

1). Tentukan vektor normal dari persaman garis dan bidang berikut berikut ini :
a). $ 2x – 3y + 5 = 0 $
b). $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2y}{3} = 4 $
c). $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $
Penyelesaian :
a). $ 2x – 3y + 5 = 0 $
dari bentuk $ 2x – 3y + 5 = 0 $, nilai $ a = 2 $ dan $ b = -3 $.
vektor normalnya merupakan $ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) $.
b). $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2x}{3} = 4 $
-). Kita ubah dahulu menjadi bentuk $ ax + by + c = 0 $
$ \begin{align} \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2y}{3} & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 6.\frac{3x-1}{2} + 6.\frac{2-2y}{3} & = 6.4 \\ 3(3x-1) + 2(2-2y) & = 24 \\ 9x-3 + 4 – 4y & = 24 \\ 9x – 4y & = 23 \\ 9x – 4y -23 & = 0 \end{align} $
Dari bentuk $ 9x – 4y – 23 = 0 $ , vektor normalnya merupakan $ \left( \begin{matrix} 9 \\ -4 \end{matrix} \right) $.
c). $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $
dari bentuk $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $, nilai $ a = -1, b = 2 $ dan $ c = 3 $.
vektor normalnya merupakan $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $.

2). Diketahui persamaan garis $ 3x – y + 1 = 0 $ dan $ kx + 6y – 2 = 0 $. Jika vektor normal kedua garis tersebut saling tegak lurus, maka tentukan nilai $ k $!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor normal masing-masing garis yaitu $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ 3x – y + 1 = 0 \rightarrow \vec{u} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$ kx + 6y – 2 = 0 \rightarrow \vec{v} = \left( \begin{matrix} k \\ 6 \end{matrix} \right) $
sesampai lalu $ \vec{u} . \vec{v} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} k \\ 6 \end{matrix} \right) = 3x – 6 $
*). Syarat tegak lurus merupakan $ \vec{u} . \vec{v} = 0 $
$ \vec{u} . \vec{v} = 0 \rightarrow 3k – 6 = 0 \rightarrow k = 2 $.
Jadi, nilai $ k = 2 $.

3). Diketahui persamaan garis lurus $ -x + 2y + 3 = 0 $ dan $ 2x – y + 1 = 0 $. Jika $ \theta $ merupakan sudut yang dibuat oleh kedua garis tersebut, dengan konsep vektor normal garis, tentukan nilai dari $ \cos \theta $ !
Penyelesaian :
*). sudut yang dibuat oleh kedua garis sama saja dengan sudut yang dibuat oleh kedua vektor normalnya. Berikut vektor normal masing-masing garis :
$ -x + 2y + 3 = 0 \rightarrow \vec{u} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
$ 2x – y + 1 = 0 \rightarrow \vec{v} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ :
$ \begin{align} \vec{u}. \vec{v} & = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{u}. \vec{v}}{ |\vec{u}||\vec{v}| } \\ & = \frac{ -1.2 + 2.(-1) }{ \sqrt{(-1)^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2} } \\ & = \frac{ -4 }{ \sqrt{5} \sqrt{5} } \\ & = \frac{ -4 }{ 5 } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = -\frac{4}{5} $.

Baca Juga:   Pengertian Vektor Dan Penulisannya

       Demikian pembahasan bahan Vektor Normal Garis Lurus dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA” yaitu “aplikasi vektor : jarak titik ke garis“.