Vektor Posisi Dan Vektor Nol

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah sebelumnya kita mempelajari bahan “pengertian vektor dan penulisannya” dan bahan “panjang vektor dan vektor satuan“, nah pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Vektor Posisi dan Vektor Nol, dimana bahan ini juga bab dari “materi vektor tingkat SMA” yang akan kita bahas. Kita bagi menjadi dua bab pembahasan adalah vektor posisi dan vektor nol. Berikut penterangan masing-masing vektor posisi dan vektor nol.

Vektor Posisi
       Misalkan suatu vektor kita gambar pada bidang Cartesius, vektor posisi suatu titik merupakan vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal koordinat (pusat koordinat) dan titik ujungnya di titik itu. Titik sentra koordinat merupakan titik $ (0,0 ) $ di R$^2$ dan titik $ (0,0,0) $ di R$^3$.

$\clubsuit \, $ Vektor posisi di R$^2$
     Misalkan titik P merupakan sebuah titik pada bidang koordinat Cartesius di R$^2$, vektor posisi dari titik P dilambangkan $ \vec{OP} = \vec{p} $. Jika koordinat titik P merupakan $ P(x_1,y_1) $, maka vektor posisi dari titik P merupakan
$ \vec{OP} = \vec{p} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) \, $
atau dalam vektor baris adalah $ \vec{OP} = \vec{p} = (x_1 , \, y_1) $.
Penulisan vektor posisi dari titi P boleh $ \vec{OP} $ atau $ \vec{p} $.

$\clubsuit \, $ Vektor posisi di R$^3$
     Misalkan titik Q merupakan sebuah titik pada bidang koordinat Cartesius di R$^3$, vektor posisi dari titik Q dilambangkan $ \vec{OQ} $ atau $ \vec{q} $. Jika koordinat titik Q merupakan $ Q(x_1,y_1,z_1) $, maka vektor posisi dari titik Q merupakan
$ \vec{OQ} = \vec{q} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right) \, $
atau dalam vektor baris adalah $ \vec{OQ} = \vec{q} = (x_1 , \, y_1 , \, z_1) $.

Baca Juga:   Proyeksi Ortogonal Vektor Pada Vektor

Catatan :
*). Jika $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) $ merupakan vektor posisi titik P, maka titik P berkoordinat $(x_1,y_1) $
*). Jika $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right) $ merupakan vektor posisi titik Q, maka titik Q berkoordinat $(x_1,y_1,z_1) $

Contoh Soal vektor posisi :

1). Tentukan vektor posisi dari koordinat titik-titik $ A(1,5,2) $, $ B(-2,0,3) $ dan $ C(3,-1,4) $!
Penyelesaian :
*). Berikut merupakan vektor posisi masing-masing vektor :
-). vektor posisi titik A :
$ \vec{OA} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} \right) \, $ atau $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} \right) $
-). vektor posisi titik B :
$ \vec{OB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \, $ atau $ \vec{b} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) $
-). vektor posisi titik C :
$ \vec{OC} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \, $ atau $ \vec{c} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{matrix} \right) $

2). Diketahui vektor posisi $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). Koordinat titik P dan titik Q,
b). Vektor $ \vec{PQ} $.
Penyelesaian :
a). Koordinat titik P dan titik Q,
*). Koordinat titik masing-masing :
-). Koordinat titik P merupakan $ P(2, -1) $
-). Koordinat titik Q merupakan $ Q(-3,4) $.
b). Vektor $ \vec{PQ} $.
*). memilih vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q – P = ( -3 – 2, \, 4 – (-1)) = ( -5, \, 5) $
atau dalam vektor kolom : $ \vec{PQ} = \left( \begin{matrix} -5 \\ 5 \end{matrix} \right) $

Vektor Nol
       Vektor Nol merupakan vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya berimpit. Suatu vektor nol terdapat panjang nol. Arah dari vektor nol tak tentu. Misalkan vektor $ \vec{AA} $, $ \vec{BB} $ , $ \vec{CC} $ , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor nol dilambangkan $ \vec{o} $. Vektor nol untuk di R$^2$ merupakan $ \vec{o} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $ dan vektor nol untuk di R$^3$ merupakan $ \vec{o} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $.

Ilustrasi vektor Nol :
Perhatikan gambar vektor berikut ini,

Dari gambar, vektor nol $ \vec{AA} $ sanggup kita peroleh dengan menjumlahkan sedikit vektor sesampai lalu titik pangkal vektor $ \vec{AA} $ merupakan titik A dan titik ujung vektor $ \vec{AA} $ merupakan titik A juga, dimana $ \vec{AA} $ sanggup kita peroleh dengan penjumlahan :
$ \vec{AA} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} $ .
Untuk konsep penjumlahan vektor akan kita pelajari pada artikel lainnya di Pondok Soal.com ini adalah pada artikel “Penjumlahan dan Pengurangan Vektor”.

Baca Juga:   Perbandingan Vektor Pada Ruas Garis

Contoh soal vektor nol :

3). Tentukan vektor nol dari titik-titik $ A(-2,3) $ dan $ B(1, -3, -1 ) $!
Penyelesaian :
*). Vektor nol dari masing-masing koordinat :
-). vektor nol dari titik $ A(-2,3) $
$ \vec{AA} = A – A = (-2 – (-2), \, 3 – 3 ) = (0, \, 0 ) $
atau dalam vektor kolom : $ \vec{AA} = \vec{o} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $
-). vektor nol dari titik $ B(1, -3, -1 ) $
$ \vec{BB} = B – B = (1 -1 , \, -3 – (-3) , \, -1 – (-1) ) = (0, \, 0 , \, 0 ) $
atau dalam vektor kolom : $ \vec{BB} = \vec{o} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $.

       Demikian pembahasan bahan Vektor Posisi dan Vektor Nol dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Vektor Basis Normal Standar“.