Volume Benda Putar Memakai Integral

Posted on

         Pondok Soal.com – Salah satu penggunaan integral selain menghitung luas daerah juga dipakai untuk menghitung volume benda putar. Pada artikel ini kita akan membahas artikel Volume Benda Putar Menggunakan Integral. Volume benda putar disini maksudnya suatu tempat yang dibatasi oleh sedikit kurva kemudian diputar terhadap suatu garis tertentu yang biasanya diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y dengan satu putaran penuh ialah $ 360^\circ $ . Namun untuk tingkat kuliah, khususnya pada matakuliah kalkulus, tempat tersebut tak hanya diputar terhadap sumbu X atau sumbu Y saja, akan tenamun sanggup diputar terhadap garis lain.

         Berikut gambaran volume benda putar memakai integral dengan memutar suatu tempat mengelilingi sumbu X ibarat gambar berikut ini.

Dari gambar gambaran di atas, gambar pertama tempat berupa segitiga diputar mengelilingi sumbu X sesampai kemudian terbentuk bangkit ruang kerucut, dan gambar kedua tempat berupa setengah bundar diputar mengelilingi sumbu X sesampai kemudian terbentuk bangkit ruang bola.

         Volume Benda Putar Menggunakan Integral secara umum memakai dua metode dalam perhitungannya ialah metode cakram dan metode kulit tabung. Untuk metode cakram terdapat ciri arah putaran sesuai dengan batasan integralnya, misalkan apabila tempat diputar terhadap sumbu X maka batasannya juga ada pada sumbu X. Sedangkan metode kulit tabung dalam volume benda putar terdapat ciri arah putaran berbeda dengan batasan integralnya, misalkan tempat diputar terhadap sumbu Y tenamun batasnya ada di sumbu X. Sebagaimana luas suatu daerah, volume benda putar juga ada yang dibatasi satu kurva saja dan ada dibatasi dua kurva.

Metode Cakram :

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X
Perhatikan gambar berikut ini,

Volume benda putar yang terjadi dari tempat yang dibatasi oleh $ y = f(x) $, sumbu X, garis $ x = a$, dan garis $ x = b $ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ$, volumenya merupakan
Volume $ = \pi \int \limits_a^b y^2 dx = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx $

Contoh soal volume benda putar :
1). Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila bidang datar yang dibatasi oleh kurva $ y = x $, sumbu X, dan garis $ x = 3 $ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ $. ?

Penyelesaian :
*). gambar benda putar yang terbentuk :

baca bahan : Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya.
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^3 [x]^2 dx \\ & = \pi [\frac{1}{3}x^3]_0^3 \\ & = \pi ( [\frac{1}{3}.3^3] – [\frac{1}{3}.0^3] ) \\ & = \pi ( [9] – [0] ) \\ & = 9 \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk merupakan $ 9 \pi $ satuan volume.

Contoh soal :
2). Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila tempat yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = x^2$, garis $ y = 2$, dan garis $ y = 5 $ diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian :
*). Gambarnya,

baca bahan : Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_2^5 [\sqrt{y}]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_2^5 y dy \\ & = \pi [ \frac{1}{2}y^2]_2^5 \\ & = \pi ( [ \frac{1}{2}.5^2] – [ \frac{1}{2}.2^2]) \\ & = \frac{21}{2}\pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk merupakan $ \frac{21}{2}\pi $ satuan volume.

Volume Benda Putar dibatasi Dua Kurva
*). Diputar terhadap sumbu X

Dimisalkan T merupakan tempat tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva $ y_1 = f(x) $ dan $ y_2 = g(x) $ dengan $ | f(x) | \geq | g(x) | $ pada interval $ a \leq x \leq b$. Daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ $ sesampai kemudian terbentuk suatu benda putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di atas. Volume benda yang terbentuk dari tempat yang dibatasi oleh kurva $ y_1 = f(x), y_2 = g(x)$, garis $ x = a $ dan $ x = b $ merupakan
Volume $ \, = \pi \int \limits_a^b (y_1)^2 – (y_2)^2 dx = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 – [g(x)]^2 dx $.

*). Diputar terhadap sumbu Y

Dimisalkan U merupakan tempat tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva $ x_1 = f(y) $ dan $ x_2 = g(y) $ dengan $ | f(y) | \geq | g(y) | $ pada interval $ a \leq x \leq b$. Daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ $ sesampai kemudian terbentuk suatu benda putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di atas. Volume benda yang terbentuk merupakan
Volume $ \, = \pi \int \limits_a^b (x_1)^2 – (x_2)^2 dy = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 – [g(y)]^2 dy $.

Catatan :
Cara mengurangkannya ialah kurva terjauh dikurangkan kurva terdekat terhadap sumbu putar.

Contoh soal :
3). Tentukan volume benda putar yang terjadi, apabila tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = 6x – x^2 $ dan $ y = x $ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ$

Penyelesaian :
*). memilih titik ptong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x & = 6x – x^2 \\ x^2 – 5x & = 0 \\ x(x-5) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 5 \end{align} $
artinya batas integralnya dari 0 hingga 5.
*). Gambar daerahnya,

*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 – [g(x)]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^5 [6x – x^2]^2 – [x]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^5 ( x^4 -12x^3 + 35x^2) dx \\ & = \pi [ \frac{1}{5}x^5 -3x^4 + \frac{35}{3}x^3]_0^5 \\ & = 208\frac{1}{3} \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk merupakan $ 208\frac{1}{3} \pi $ satuan volume.

Baca Juga:   Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

4). Hitunglah volume benda putar yang terjadi apabila tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2, y = 3x^2$, dan $ y = 3 $ di kuadran pertama diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ$.

Penyelesaian :
*). gambar daerahnya,

*). Mengubah fungsi menjadi $ x = f(y) $,
fungsi $ y = x^2 \rightarrow x_1 = \sqrt{y} $
fungsi $ y = 3x^2 \rightarrow x_2 = \sqrt{\frac{1}{3}y} $
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 – [g(y)]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 [\sqrt{y}]^2 – [\sqrt{\frac{1}{3}y}]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 (y – \frac{1}{3}y) dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 \frac{2}{3}y dy \\ & = \pi [\frac{2}{6}y^2]_0^3 \\ & = \pi [\frac{1}{3}y^2]_0^3 \\ & = \pi ([\frac{1}{3}.3^2]- [\frac{1}{3}.0^2] ) \\ & = \pi ([3]- [0]) \\ & = 3 \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk merupakan $ 3 \pi $ satuan volume.

Metode Kulit Tabung :

Volume benda putar mengelilingi sumbu X atau Y
*). Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ merupakan
Volume $ \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b xf(x) dx $

*). Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ x = f(y) , \, y = a, \, y = b, \, $ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $ 360^\circ \, $ merupakan
Volume $ \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b f(y) . y dy $

Catatan :
Metode kulit tabung ini kita pakai apabila kita kesulitan dalam mengubah bentuk fungsi $ y = f(x) \, $ menjadi $ x = f(y) \, $ atau sebaliknya.

Contoh soal :
5). Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = -x^3 + 4x , \, x = 0, \, x = 1 , \, $ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ $ . ?

Penyelesaian :
*). Gambar daerahnya,

Karena diputar mengelilingi sumbu Y, dengan metode cakram seharusnya batasnya ada pada sumbu Y dan fungsi kita ubah menjadi bentuk $ x = f(y) $. Hanya saja fungsi dari kurvanya $ y = -x^3 + 4x \, $ yang akan sangat sulit bagi kita untuk mengubahnya menjadi bentuk $ x = f(y) $ , dalam hal ini metode cakram sulit kita terapkan untuk menghitung volume benda putarnya. Sesampai kemudian yang termudah kita gunakan metode kulit tabung.
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b xy dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 x(-x^3 + 4x) dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 (-x^4 + 4x^2) dx \\ & = 2\pi [\frac{-1}{5}x^5 + \frac{4}{3}x^3]_0^1 \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5}.1^5 + \frac{4}{3}.1^3] – [\frac{-1}{5}.0^5 + \frac{4}{3}.0^3]) \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5} + \frac{4}{3} ] – [0]) \\ & = 2\pi ( \frac{-3}{15} + \frac{20}{15} ) \\ & = 2\pi ( \frac{17}{15} ) \\ & = \frac{34}{15} \pi \\ & = 2\frac{4}{15} \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk merupakan $ 2\frac{4}{15} \pi $ satuan volume.

Volume Benda Putar dibatasi dua kurva Metode Kulit Tabung
*). Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, y = g(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(x)| \geq |g(x)| \, $ merupakan
Volume $ \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) – g(x)] dx $

Baca Juga:   Pengertian Integral Secara Umum

*). Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ x = f(y) , \, x = g(y) , \, y = a, \, y = b, \, $ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(y)| \geq |g(y)| \, $ merupakan
Volume $ \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b [f(y) – g(y)] y dy $

Contoh soal :
6). Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = \frac{1}{3}x^2 , \, y = x , \, x = 0, \, x = 2 , \, $ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ $ . ?

Penyelesaian :
*). Gambar daerahnya,

*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) – g(x)] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 x[x – \frac{1}{3}x^2] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 (x^2 – \frac{1}{3}x^3) dx \\ & = 2\pi [\frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{12}x^4]_0^2 \\ & = 2\pi ( [\frac{1}{3}.2^3 – \frac{1}{12}.2^4] – [\frac{1}{3}.0^3 – \frac{1}{12}.0^4] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{8}{3} – \frac{4}{3} ] – [0] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{4}{3} ] ) \\ & = \frac{8}{3} \pi \\ & = 2\frac{2}{3} \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk merupakan $ 2\frac{2}{3} \pi $ satuan volume.

       Volume benda putar memakai integral yang dibahas pada artikel ini memang simpel dan merupakan konsep dasar yang harus dikuasai serta dipahami dengan baik. Artinya untuk tipe soal yang sulitpun pengerjaannya akan melalui proses yang sama ibarat contoh-contoh soal pada bahan ini. Dari hampir semua teladan yang ada pada volume benda putar, hal fundamental yang harus kita pahami terlebih dahulu merupakan menggambar kurva atau grafik dari fungsi yang ada, sesudah itu gres menguasai cara mengintegralkan fungsi aljabar. Semoga bahan ini mempunyai kegunaan untuk kita semua.